Установихме a професия когато свързваме една или повече величини. Част от природните явления могат да бъдат изучавани благодарение на развитието в тази област на математиката. Изследването на функциите е разделено на две части, имаме общата част, в която изучаваме концепцииобщ, и специфичната част, в която изучаваме частни случаи, като полиномиални функции и експоненциални функции.
Вижте също: Как да графирам функция?
Какво представляват функциите?
Функцията е приложение, което свързва елементите на две комплекти не е празно. Да разгледаме две непразни множества A и B, където има функция е свързват всеки елемент от А до само един елемент на Б.
За да разберете по-добре това определение, представете си пътуване с такси. За всяко пътуване, тоест за всяко изминато разстояние, има различна и уникална цена, тоест няма смисъл пътуването да има две различни цени.
Можем да представим тази функция, която приема елементи от множество A до множество B по следните начини.
Имайте предвид, че за всеки елемент от набор A има a
единичен свързан елемент с него в комплект Б. Сега можем да мислим, в края на краищата, когато връзката между два набора няма да бъде функция? Е, когато елемент от множеството A е свързан с два различни елемента от B, или когато има елементи от множеството A, които не са свързани с елементи от B. Виж:
Най-общо казано, можем да напишем функция алгебрично по следния начин:
е: A → B
x → y
Обърнете внимание, че функцията взема елементи от набор A (представени с x) и ги отвежда до елементи на B (представени с y). Можем също да кажем, че елементите от множество B са дадени по отношение на елементите на множество A, така че можем да представим y чрез:
y = е(х)
То гласи: (y е равно на f на x)
Домен, съвместен домейн и образ на роля
Когато имаме роля е, свързаните набори получават специални имена. Така че помислете за функция е който отвежда елементи от множество A към елементи от множество B:
е: A → B
Извиква се множеството A, от което се отклоняват отношенията домейн на функцията и се извиква множеството, което получава "стрелките" на тази връзка контра-домейн. Ние обозначаваме тези набори, както следва:
де = A → Домейн на е
CDе = B → Контрадомен на е
Извиква се подмножеството на контрадомена на функция, образувана от елементи, които се отнасят до елементи от множеството Изображение на функцията и се обозначава с:
аз съме → Изображение на е
- Пример
Помислете за функцията f: A → B, представена на диаграмата по-долу, и определете домейна, контрадомена и изображението.
Както беше казано, множеството A = {1, 2, 3, 4} е домейнът на функцията е, докато множеството B = {0, 2, 3, –1} е контрадомейнът на същата функция. Сега забележете, че множеството, образувано от елементи, които получават стрелката (в оранжево), образувано от елементите {0, 2, –1}, е подмножество на контрадомена B, този набор е изображението на функцията е, поради това:
де = A = {1, 2, 3, 4}
CDе = B = {0, 2, 3, -1}
аз съме = {0, 2, –1}
Ние казваме, че 0 е изображение на елемент 1 на домейна, както и 2 това е изображение на елементите 2 и 3 на домейна и –1 е изображение на елемент 4 на домейна. За да научите повече за тези три концепции, прочетете: ддомейн, съвместен домейн и изображение.
Сюръективна функция
Функция е: A → B ще бъде surjective или surjective, ако и само ако, наборът от изображения съвпада с противоречивата, т.е. ако всички елементи на противоречието са изображения.
Тогава казваме, че функция е сюръективна, когато всички елементи на контрадомена получават стрелки. Ако искате да се задълбочите в този тип функции, посетете нашия текст: Функция Overjet.
Инжекционна функция
Функция е: A → B ще бъде инжектиращо или инжекционно, ако и само ако отделни елементи на домейна имат различни изображения в контрадомена, т.е. подобни изображения се генерират от подобни елементи на домейна.
Имайте предвид, че условието е различните елементи на домейна да се отнасят към различни елементи на контрадомена, като няма проблем с останалите елементи в контрадомена. За да разберете по-добре тази концепция, можете да прочетете текста: Функция на инжектора.
Функция на Биектор
Функция е: A → B ще бъде биективна, ако и само ако е така инжектор и сържектор едновременно, тоест отделните елементи на домейна имат различни изображения и изображението съвпада с контрадомена.
- Пример
Във всеки случай обосновете дали функцията f (x) = x2 това е инжектор, сюжектор или биектор.
The) е: ℝ+ → ℝ
Имайте предвид, че домейнът на функцията е всички положителни реални числа, а контрадомейнът - всички реални числа. Знаем, че функцията f е дадена от f (x) = x2, сега си представете всички положителни реални числа Високо на квадрат, всички изображения също ще бъдат положителни. Така че можем да заключим, че функцията е инжекционна, а не сюръективна, тъй като отрицателните реални числа няма да получават стрелки.
Той се инжектира, тъй като всеки елемент от домейна (ℝ+) се отнася само до един елемент от контрадомена (ℝ).
Б) е: ℝ → ℝ+
В този случай функцията има домейна като всички реални, а контрадомейнът - като положителни. Знаем, че всяко реално число на квадрат е положително, така че всички елементи на контрадомена са получили стрелки, така че функцията е сюръективна. Няма да се инжектира, защото домейн елементите се отнасят до два елемента на контрадомена, например:
е(–2) = (–2)2 = 4
е(2) = (2)2 = 4
° С) е:ℝ+ → ℝ+
В този пример функцията има домейн и counterdomain като положителни реални числа, така че функцията е биектор, защото всяко положително реално число се отнася до единично реално число положително на контрадомена, в този случай квадратът на числото. Освен това всички номера на контрадомените получиха стрелки.
композитна функция
НА композитна функция е свързано с идея за пряк път. Помислете за три непразни множества A, B и C. Помислете също така за две функции f и g, където функция f взема елементи x от множество A към елементи y = f (x) от множество B, а функция g отвежда елементи y = f (x) към елементи z от множество C.
Композитната функция получава това име, защото е приложение, което взема елементи от множество A директно към елементи от множество C, без да преминава през множество B, чрез състава на функции f и g. Виж:
Функцията, обозначена с (f o g), отвежда елементите от множество A директно в множество C. Нарича се композитна функция.
- Пример
Да разгледаме функцията f (x) = x2 и функцията g (x) = x + 1. Намерете съставните функции (f o g) (x) и (g o f) (x).
Функцията f o g се дава от функцията g, приложена към f, т.е.
(f o g) (x) = f (g (x))
За да определим тази съставна функция, трябва да разгледаме функцията е, а вместо променливата x трябва да напишем функцията ж. Виж:
х2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
По същия начин, за да определим съставната функция (g o f) (x), трябва да приложим функцията е в ролята ж, тоест разгледайте функцията g и напишете функцията f вместо променливата. Виж:
(x + 1)
х2 + 1
Следователно съставната функция (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Равна функция
Помислете за функция е: A → ℝ, където A е подмножество на непразни реалности. Функция f ще бъде четна само за всички реални x.
Пример
Помислете за функцията е: ℝ → ℝ, дадено от f (x) = x2.
Имайте предвид, че за всяка реална стойност x, ако е на квадрат, резултатът винаги е положителен, т.е.
f (x) = x2
и
f (–x) = (–x)2 = х2
Така че f (x) = f (–x) за всяка реална стойност x, така че функцията е това е двойка.
Прочетете също:Мощни свойстваs - какви са те и как в използваневъздух?
уникална функция
Помислете за функция е: A → ℝ, където A е подмножество на непразни реалности. Функция f ще бъде нечетна само за всички реални x.
- Пример
Помислете за функцията е: ℝ → ℝ, дадено от f (x) = x3.
Вижте, че за всяка стойност на x можем да напишем, че (–x)3 = -x3. Вижте няколко примера:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Така че можем да кажем, че:
f (–x) = (–x)3 = –х3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Така че за всяко реално x f (–x) = –f (x) и така функцията f (x) = x3 е уникален.
нарастваща функция
Функция е é нарастващ на интервал, ако и само ако с нарастването на елементите на домейна техните изображения също растат. Виж:
Обърнете внимание, че x1 > x2 и същото се случва с изображението, така че можем да установим алгебрично условие за функцията е бъда нарастващ.
Низходяща функция
Функция е é намаляващ на интервал, ако и само ако с нарастването на елементите на домейна техните изображения намаляват. Виж:
Вижте, че във функционалния домейн имаме това x1 > x2, обаче това не се случва във изображението на функцията, където f (x1)
постоянна функция
Както се казва в името, a функцията е постоянна когато, за всяка стойност домейн, стойността на изображението винаги е една и съща.
свързана функция
НА афинна функция или полином от първа степен е написана във формата:
f (x) = ax + b
Когато a и b са реални числа, a е ненулево, а графиката ви е линия. Функцията има реален домейн, а също и реален контрадомейн.
квадратична функция
НА квадратична функция или полиномиална функция от втора степен се дава от а многочлен от втора степен, поради това:
f (x) = брадва2 + bx + c
Където a, b и c са реални числа с ненулево, а вашата графика е a притча. Ролята също има реален домейн и брояч домейн.
модулна функция
НА модулна функция с променлива x намира-ако вътре в модула и алгебрично се изразява чрез:
f (x) = | x |
Функцията също има реален домейн и брояч, тоест можем да изчислим абсолютната стойност на всяко реално число.
експоненциална функция
НА експоненциална функцияпоказва променливата x в степента. Той също така има реален домейн и реален контрадомейн и е описан алгебрично от:
f (x) = aх
Където a е реално число, по-голямо от нула.
логаритмична функция
НА логаритмична функция има променлива в логаритъма и домейнът, образуван от реални числа, по-големи от нула.
Тригонометрични функции
В тригонометрични функции имат променлива x, включваща тригонометрични съотношения, основните от тях са:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
коренна функция
Коренната функция се характеризира с наличието на променлива вътре в корена, с това, ако индексът на корена е четен, домейнът на функцията става само положителните реални числа.
от Робсън Луиз
Учител по математика