Изследването за числови множества представлява една от основните области на математиката, тъй като те са много важни за теоретичното развитие на областта и имат няколко практически приложения. Числените множества включват в изучаването:
- естествени числа;
- цели числа;
- рационални числа;
- ирационални числа;
- реални числа; и
- комплексни числа.
Прочетете още: Прости числа - числа, които имат само 1 и себе си като делители
Набор от естествени числа
Развитието на първите цивилизации донесе със себе си подобряването на земеделието и търговията и, следователно, на използване на числа за представяне на величини. Първият комплект дойде естествено, откъдето идва и името му. Естественият наименуван набор се използва за представяне на количества, той се обозначава с символ ℕ и се записва в последователна форма. Виж:
О набор от числа naturaе é безкраен и затворен за операции на допълнение и умножение, тоест всеки път, когато събираме или умножаваме две естествени числа, отговорът е все още естествен. Въпреки това, за операция на изваждане и разделение, комплектът не е затворен. Виж:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Имайте предвид, че числата –1 и 0,5 те не принадлежат към множеството натурали и това е оправданието за създаването и изучаването на нови набори от числа.
Не спирайте сега... Има още след рекламата;)
Също така, поставяйки звездичка (*) в символа на естествения набор, трябва да премахнем числото нула от списъка, вижте:
набор от цели числа
Целият набор от номера излезе с трябва да извърши операцията на изваждане без ограничения. Както видяхме, когато по-малък брой се изважда от по-голям, отговорът не принадлежи към групата на натуралите.
Наборът от цели числа също е представен от безкрайна числова последователност и се обозначава с символ ℤ.
Както в набора от естествени числа, чрез поставяне на звездичка в символа ℤ, елементът нула се премахва от набора, по следния начин:
Символът (-), придружаващ число, показва, че той е симетричен, така че симетричният на числото 4 е числото –4. Също така имайте предвид, че множеството от естествени числа се съдържа в множеството от цели числа, т.е.
ℕ ⸦ ℤ
Прочетете също: Операции с цели числа - какви са те и как да се изчисли?
набор от рационални числа
О набор от рационални числа é представен със символа ℚ и не е представен от числова последователност. Този набор се състои от всички числа, които могат да бъдат представени като дроб. Представяме елементите му по следния начин:
Знаем, че всяко цяло число може да бъде представено с a фракция, т.е. множеството от цели числа се съдържа в това на рационалните числа, следователно, множеството от цели числа е подмножество на обосновките.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Числа, които имат безкрайно представяне, като периодични десятъци, също имат представяне под формата на дроб, като по този начин те също са рационални.
Прочетете също: Операции с фракции - стъпка по стъпка как да ги решим
Набор от ирационални числа
Както видяхме, числото е рационално, ако може да бъде записано като дроб. Също така беше казано, че безкрайните и периодичните числа са рационални, но има някои числа, които не може да се напише под формата на дроб и които следователно не принадлежат към множеството рационални числа.
Тези нерационални числа се наричат ирационален и основните му характеристики са безкрайност на десетичната част и нечестота, тоест нито едно число в десетичната част не се повтаря. Вижте няколко примера за ирационални числа.
- Пример 1
Квадратните корени на числата, които не са идеални квадрати.
- Пример 2
Константи, идващи от специални причини като златно число, число на Ойлер или Pi.
Набор от реални числа
О набор от реални числа се представя със символа ℝ и се формира от единствона множеството рационални числа с множеството ирационални числа. Не забравяйте, че наборът от обосновки е обединението на естествени и цели числа.
Когато подреждаме реалните числа на права, имаме, че числото нула е началото на линията, вдясно от нулата ще бъдат положителните числа, а вляво - отрицателните числа.
Тъй като тази ос е реална, можем да кажем, че между две числа има безкрайни числа, а също така, че тази ос е безкрайна и в положителна посока когато в отрицателна посока.
Набор от комплексни числа
О набор от сложни числа това е последен и възникна по същата причина като множеството от цели числа, тоест това е операция, чието развитие само с множеството реалности не е възможно.
Решавайки следното уравнение, вижте, че то няма решение, познавайки само реалните числа.
х2 + 1 = 0
х2 = –1
Имайте предвид, че трябва да намерим число, което кога издигатдО на квадрат, води до отрицателно число. Ние знаем това всяко число на квадрат винаги е положителноследователно това изчисление няма реално решение.
Така бяха създадени комплексните числа, в които имаме a въображаемо число обозначен с i, което има следната стойност:
Така че, осъзнайте, че уравнение че преди нямаше решение, сега го има. Разгледайте:
Прочетете още: Свойства, включващи комплексни числа
действителни интервали
В някои случаи няма да използваме всяка реална ос, тоест ще използваме части от нея, които ще бъдат извикани почивки. Тези интервали са подмножества от множеството реални числа. След това ще установим някои обозначения за тези подмножества.
Затворен обхват - без да се включват крайностите
Когато е затворен интервал има своите две крайности, тоест минимумът и максимумът, а в случая и крайностите не принадлежат към обхвата. Ще обозначим това с помощта на отворена топка. Виж:
В червено са числата, които принадлежат към този диапазон, тоест те са числа по-голямо от a и по-малко от b. Алгебрично пишем такъв интервал, както следва:
< х
Където числото x е всички реални числа, които са в този диапазон. Можем да го представим и символично. Виж:
] The; Б [ или (The; Б)
Затворен обхват - включително крайности
Сега нека използваме затворени топки, за да представим това крайностите принадлежат към обхвата.
Така че събираме реални числа, които са между a и b, включително и тях. Алгебрично изразяваме такъв интервал чрез:
≤ хб
Използвайки символни обозначения, имаме:
[The; B]
Затворен обхват - включително една от крайностите
Все още се занимаваме със затворени интервали, сега имаме случая, когато включена е само една от крайностите. Следователно, една от топчетата ще се затвори, което показва, че числото принадлежи към диапазона, а другото не, което показва, че числото не принадлежи към този диапазон.
Алгебрично представяме този диапазон, както следва:
≤ х
Символично имаме:
[The; Б [ или [The; Б)
Отворен диапазон - без включен край
Диапазон се отваря, когато няма максимален или минимален елемент. Сега ще видим случай с отворен обхват, който има само максимален елемент, който не е включен в обхвата.
Вижте, че гамата се състои от реални числа по - малки отБ, и също така отбележете, че числото b, което не принадлежи на диапазона (отворена топка), така че, алгебрично, можем да представим интервала чрез:
х
Символично можем да го представим чрез:
] – ∞; Б [ или (– ∞; Б)
Отворен диапазон - включително екстремния
Друг пример за отворен диапазон е случаят, в който е включена крайността. Тук имаме диапазон, в който се появява минималният елемент, вижте:
Имайте предвид, че всички реални числа са по-големи или равни на числото a, така че можем да запишем този диапазон алгебрично чрез:
хда се
Символично имаме:
[The; +∞[ или [The; +∞)
отворен диапазон
Друг случай на отворен диапазон се формира от числа по-големи и по-малки от числата, фиксирани на реалната линия. Виж:
Имайте предвид, че реалните числа, които принадлежат към този диапазон, са тези, по-малки или равни на числото a, или тези, които са по-големи от числото b, така че трябва да:
х да се илих > б
Символично имаме:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
или
(– ∞; a] U (b; + ∞)
от Робсън Луиз
Учител по математика
