Като се има предвид кръг с център O, радиус r и две точки A и B, принадлежащи на окръжността, имаме, че разстоянието между маркираните точки е дъга на окръжност. Дължината на дъгата е пропорционална на мярката на централния ъгъл, колкото по-голям е ъгълът, толкова по-голяма е дължината на дъгата; и колкото по-малък е ъгълът, толкова по-къса е дължината на дъгата.
За да определим дължината на кръг, използваме следния математически израз: C = 2 * π * r. Пълният завой в кръг е представен на 360º. Нека направим сравнение между дължината на обиколката в линейна мярка (ℓ) и ъглова мярка (α), забележете:
линейна |
ъглова |
2 * π * r |
360º |
ℓ |
α |
Този израз може да се използва за определяне на дължината на дъгата на кръг с радиус r и централен ъгъл α в градуси. В тези случаи използвайте π = 3,14.
Ако централният ъгъл е даден в радиани, ще използваме следния израз: ℓ = α * r.
Пример 1
Определете дължината на дъга с централен ъгъл, равен на 30 °, съдържащ се в обиколка с радиус 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 см
Дължината на лъка ще бъде 1,05 сантиметра.
Пример 2
Минутната стрелка на стенния часовник е с размери 10 cm. Колко място ще измине ръката след 30 минути?
Вижте снимката на часовника:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 см
Пространството, покрито от минутната стрелка, ще бъде 31,4 сантиметра.
Пример 3
Определете дължината на дъга с централен ъгъл с размер π / 3, съдържащ се в радиус от 5 cm.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 см
Пример 4
Махало с дължина 15 см се люлее между A и B под ъгъл 15 °. Каква е дължината на траекторията, описана от нейния край между A и B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 см
Дължината на траекторията между A и B е 3,9 сантиметра.
от Марк Ной
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия
Тригонометрия - Математика - Бразилско училище
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm