До средата на 16 век уравнения като x2 - 6x + 10 = 0 просто се считаха за „без решение“. Това беше така, защото според формулата на Баскара, когато се решава това уравнение, намереният резултат ще бъде:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Проблемът е намерен в √– 4, който няма решение в рамките на реалните числа, т.е. има реално число, което, умножено по себе си, дава √– 4, тъй като 2 · 2 = 4 и (–2) (- 2) = 4.
През 1572 г. Рафаел Бомбели е зает с решаването на уравнението х3 - 15x - 4 = 0, използвайки формулата на Cardano. Чрез тази формула се заключава, че това уравнение няма реални корени, тъй като в крайна сметка е необходимо да се изчисли √– 121. След няколко опита обаче е възможно да се установи, че 43 - 15 · 4 - 4 = 0 и следователно, че x = 4 е корен от това уравнение.
Като се има предвид съществуването на истински корени, които не са изразени от формулата на Кардано, Бомели е имал идеята да предположи че √– 121 би довело до √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 и това може да бъде „нереален“ корен за уравнението проучен. По този начин, √– 121 ще бъде част от нов тип число, което съставлява останалите неоткрити корени на това уравнение. Така че уравнението x
3 - 15x - 4 = 0, който има три корена, ще има x = 4 като истински корен и два други корена, принадлежащи към този нов тип число.В края на 18 век Гаус назовава тези числа като комплексни числа. По това време комплексните числа вече приемаха формата a + bi, с i = √– 1. Освен това, The и Б. те вече се считаха за точки на декартова равнина, известна като равнината на Арганд-Гаус. По този начин комплексното число Z = a + bi имало за геометрично представяне точка P (a, b) от декартовата равнина.
Следователно изразът „комплексни числа”Започна да се използва по отношение на числовия набор, чиито представители са: Z = a + bi, с i = √– 1 и с The и Б. принадлежащи към множеството реални числа. Това представяне се нарича алгебрична форма на комплексно число Z.
Тъй като комплексните числа се образуват от две реални числа и едно от тях се умножава по √– 1, тези реални числа са получили специално име. Като се има предвид комплексното число Z = a + bi, a е "реалната част на Z", а b е "въображаемата част на Z". Математически можем да запишем съответно: Re (Z) = a и Im (Z) = b.
Идеята за модул на комплексно число кристализира аналогично на идеята за модул на реално число. Разглеждайки точката P (a, b) като геометрично представяне на комплексното число Z = a + bi, разстоянието между точката P и точката (0,0) се дава от:
| Z | = √(The2 + b2)
Втори начин за представяне на комплексни числа е чрез Полярна или тригонометрична форма. Тази форма използва модула на комплексно число в състава си. Комплексното число Z, алгебрично Z = a + bi, може да бъде представено с полярната форма чрез:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Интересно е да се отбележи, че декартовата равнина се определя от две ортогонални линии, известни като осите x и y. Знаем, че реалните числа могат да бъдат представени с права, върху която са поставени всички рационални числа. Останалите интервали се запълват с ирационални числа. Докато реалните числа са на линията, известна като Оста X от декартовата равнина, всички останали точки, принадлежащи към тази равнина, биха били разликата между комплексни числа и реални числа. По този начин множеството реални числа се съдържа в множеството комплексни числа.
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm
