Аритметична прогресия: какво представлява, термини, примери

НА аритметична прогресия (AP) е числова последователност които използваме, за да опишем поведението на определени явления в математиката. В PA, растежът или разпадът винаги е постоянен, тоест от един термин до друг, разликата винаги ще бъде една и съща и тази разлика е известна като причина.

В резултат на предсказуемо поведение на прогресия, можете да го опишете от формула, известна като общ термин. По същата причина е възможно също така да се изчисли сумата от условията на PA с помощта на конкретна формула.

Прочетете също: Геометрична прогресия - как да се изчисли?

Какво е PA?

Разбиране, че PA е последователност от термини, в които разликата между даден термин и предишния му е винаги постоянна, за да опишем тази прогресия от формула, трябва да намерим първоначалния член, или това е първият член на прогресията и нейната причина, която е тази постоянна разлика между условия.

Най-общо казано, PA се пише по следния начин:

(The₁, а₂, The₃, а₄, The₅, а₆, The₇, а₈)

Първият член е a₁ и от него към добавете причината r, нека намерим условията за наследник.

The₁ + r = a₂
The₂ + r = a₃
The₃ + r = a₄

...

Така че, за да напишем аритметичната прогресия, трябва да знаем кой е първият й член и защо.

Пример:

Нека напишем първите шест термина на AP, като знаем, че първият му член е 4 и съотношението му е равно на 2. познавайки₁ = 4 и r = 2, заключаваме, че тази прогресия започва от 4 и се увеличава от 2 на 2. Следователно можем да опишем неговите термини.

The₁ = 4

The₂ = 4+ 2 = 6

The₃ = 6 + 2 = 8

The₄ = 8 + 2 = 10

The₅= 10 + 2 = 12

The₆ = 12 + 2 =14

Този BP е равен на (4,6,8,10,12,14…).

Общ срок на PA

Описването на PA от формула ни улеснява да намерим някой от нейните термини. За да намерим който и да е член на AP, използваме следната формула:

Theне= a1 + r · (n-1)

N → е позицията на термина;

The₁→ е първият член;

r → причина.

Пример:

Намери го общ срок на PA (1,5,9,13, ...) и 5, 10 и 23 мандат.

1-ва стъпка: намерете причината.

За да намерите съотношението, просто изчислете разликата между два последователни члена: 5 - 1 = 4; тогава в този случай r = 4.

2-ра стъпка: намерете общия термин.

Откъде знаем, че₁= 1 и r = 4, нека заместим във формулата.

The_не= a₁ + r (n - 1)

The_не= 1 + 4 (n - 1)

The_не= 1 + 4n - 4

The_не= 4n - 3 → общ срок на PA

3-та стъпка: познавайки общия член, нека изчислим 5-ия, 10-ия и 23-ия член.

5-ти член → n = 5
The_не= 4n - 3
The₅=4·5 – 3
The₅=20 – 3
The₅=17

10-и член → n = 10
The_не= 4n - 3
The₁₀=4·10 – 3
The₁₀=40 – 3
The₁₀=37

23-и член → n = 23
The_не= 4n - 3
The₂₃=4·23 – 3
The₂₃=92 – 3
The₂₃=89

Видове аритметични прогресии

Има три възможности за PA. Тя може да бъде увеличаваща се, намаляваща или постоянна.

• Нарастващ

Както подсказва името, аритметичната прогресия се увеличава, когато, с увеличаване на сроковете се увеличава и тяхната стойност., тоест вторият член е по-голям от първия, третият е по-голям от втория и т.н.

The₁ 2 3 4 < …. не

За да се случи това, съотношението трябва да е положително, т.е. PA се увеличава, ако r> 0.

Примери:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• низходящ

Както подсказва името, аритметичната прогресия намалява, когато, с увеличаване на сроковете стойността им намалява, тоест вторият член е по-малък от първия, третият е по-малък от втория и т.н.

The₁ > на₂ > на₃ > на₄ > …. > на_не

За да се случи това, съотношението трябва да е отрицателно, т.е. PA се увеличава, ако r <0.

Примери:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• Постоянно

Аритметичната прогресия е постоянна, когато, тъй като сроковете се увеличават, стойността остава същата., тоест първият член е равен на втория, който е равен на третия и т.н.

The₁ =₂ =₃ =₄ = …. = a_не

За да бъде PA постоянен, съотношението трябва да е равно на нула, т.е. r = 0.

Примери:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Вижте също: Продукт на термините на PG - каква е формулата?

Свойства на PA

• 1-ви имот

Като се има предвид всеки срок на PA, средно аритметично аритметика между неговия наследник и предшественик е равно на този термин.

Пример:

Помислете за прогресията (-1, 2, 5, 8, 11) и термина 8. Средната стойност между 11 и 5 е равна на 8, тоест сумата на наследника с предшественика на число в PA винаги е равна на това число.

• 2-ри имот

Сумата от равнопоставени членове винаги е равна.

Пример:

Сбор на условията на PA

Да предположим, че искаме да добавим шестте термина за BP, показани по-горе: (16,13,10,7,4,1). Можем просто да добавим техните условия - в този случай е малко термини, възможно е - но ако е така по-дълъг низ, трябва да използвате свойството. Знаем, че сумата от равнопоставени членове винаги е равна, както видяхме в свойството, така че ако изпълним това добавете веднъж и умножете по половината от сумата, имаме сумата от първите шест членове на ПАН.

Обърнете внимание, че в примера бихме изчислили сумата на първото и последното, което е равно на 17, умножено по половината от срока, тоест 17 по 3, което е равно на 51.

Формулата на сбор от термини на PA тя е разработена от математика Гаус, който реализира тази симетрия в аритметични прогресии. Формулата е написана по следния начин:

с_не → сума от n елемента

The₁ → първи срок

The_не → последен срок

n → брой термини

Пример:

Изчислете сумата на нечетните числа от 1 до 2000.

Резолюция:

Знаем, че тази последователност е PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Изпълнението на сумата би било много работа, така че формулата е доста удобна. От 1 до 2000 половината числа са нечетни, така че има 1000 нечетни числа.

Данни:

n → 1000

The₁ → 1

The_не → 1999

Също така достъп: Сума от краен PG - как да го направя?

Интерполация на аритметичните средства

Познавайки два непоследователни термина на аритметична прогресия, е възможно да се намерят всички термини, които попадат между тези две числа, това, което знаем като интерполация на аритметични средства.

Пример:

Нека интерполираме 5 аритметични средни между 13 и 55. Това означава, че има 5 числа между 13 и 55 и те образуват прогресия.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

За да намерите тези числа, е необходимо да намерите причината. Ние знаем първия член (₁ = 13), а също и 7-ият член (₇= 55), но знаем, че:

The_не =₁ + r · (n - 1)

Когато n = 7 → a_не= 55. Ние също знаем стойността на a₁=13. Така че, замествайки го във формулата, трябва:

55 = 13 + r · (7 - 1)

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42: 6

r = 7.

Знаейки причината, можем да намерим термини, които са между 13 и 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

Последователността от 1 до 10 е аритметична прогресия на съотношение 1.

решени упражнения

Въпрос 1 - (Enem 2012) - Играта на карти е дейност, която стимулира разсъжденията. Традиционна игра е пасианс, който използва 52 карти. Първоначално с картите се оформят седем колони. Първата колона има една карта, втората има две карти, третата има три карти, четвъртата има четири карти и т.н. последователно до седмата колона, която има седем карти, и това, което съставлява купчината, които са неизползваните карти в колони.

Броят на картите, които съставляват купчината, е:

А) 21.
Б) 24.
В) 26.
Г) 28.
Д) 31.

Резолюция

Алтернатива Б.

Първо нека изчислим общия брой карти, които са били използвани. Работим с AP, чийто първи срок е 1, а съотношението също е 1. И така, изчислявайки сумата от 7 реда, последният член е 7 и стойността на n също е 7.

Знаейки, че общият брой на използваните карти е 28 и че има 52 карти, купчината се формира от:

52 - 28 = 24 карти

Въпрос 2 - (Enem 2018) Кметството на малък град във вътрешността решава да постави стълбове за осветление около по прав път, който започва от централен площад и завършва до ферма в района. селски. Тъй като площадът вече има осветление, първият стълб ще бъде поставен на 80 метра от площада, вторият на 100 метра, третият на 120 метра и т.н. последователно, винаги спазвайки разстояние от 20 метра между стълбовете, докато последният стълб не бъде поставен на разстояние 1380 метра от квадрат.

Ако градът може да плати максимум 8 000,00 R $ за поставена публикация, най-високата сума, която можете да похарчите за поставяне на тези публикации, е:

А) 512 000,00 BRL.
Б) 520 000,00 BRL.
В) R $ 528 000,00.
Г) 552 000,00 BRL.
Д) 584 000,00 BRL.

Резолюция

Алтернатива В.

Знаем, че стълбовете ще бъдат поставени на всеки 20 метра, т.е. r = 20, и че първият член на този PA е 80. Също така знаем, че последният срок е 1380, но не знаем колко термина има между 80 и 1380. За да изчислим този брой термини, нека използваме формулата на общия термин.

Данни: а_не = 1380; The₁=80; и r = 20.

The_не= a₁ + r · (n-1)

Ще бъдат поставени 660 публикации. Ако всеки от тях ще струва максимум 8 000 R $, най-високата сума, която може да бъде похарчена за поставянето на тези публикации, е:

66· 8 000 = 528 000

От Раул Родригес де Оливейра 

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm