НА аритметична прогресия (AP) е числова последователност които използваме, за да опишем поведението на определени явления в математиката. В PA, растежът или разпадът винаги е постоянен, тоест от един термин до друг, разликата винаги ще бъде една и съща и тази разлика е известна като причина.
В резултат на предсказуемо поведение на прогресия, можете да го опишете от формула, известна като общ термин. По същата причина е възможно също така да се изчисли сумата от условията на PA с помощта на конкретна формула.
Прочетете също: Геометрична прогресия - как да се изчисли?
Какво е PA?
Разбиране, че PA е последователност от термини, в които разликата между даден термин и предишния му е винаги постоянна, за да опишем тази прогресия от формула, трябва да намерим първоначалния член, или това е първият член на прогресията и нейната причина, която е тази постоянна разлика между условия.
Най-общо казано, PA се пише по следния начин:
(The1, а2, The3, а4, The5, а6, The7, а8)
Първият член е a1 и от него към добавете причината r, нека намерим условията за наследник.
The1 + r = a2
The2 + r = a3
The3 + r = a4
...
Така че, за да напишем аритметичната прогресия, трябва да знаем кой е първият й член и защо.
Пример:
Нека напишем първите шест термина на AP, като знаем, че първият му член е 4 и съотношението му е равно на 2. познавайки1 = 4 и r = 2, заключаваме, че тази прогресия започва от 4 и се увеличава от 2 на 2. Следователно можем да опишем неговите термини.
The1 = 4
The2 = 4+ 2 = 6
The3 = 6 + 2 = 8
The4 = 8 + 2 = 10
The5= 10 + 2 = 12
The6 = 12 + 2 =14
Този BP е равен на (4,6,8,10,12,14…).
Общ срок на PA
Описването на PA от формула ни улеснява да намерим някой от нейните термини. За да намерим който и да е член на AP, използваме следната формула:
Theне= a1 + r · (n-1) |
N → е позицията на термина;
The1→ е първият член;
r → причина.
Пример:
Намери го общ срок на PA (1,5,9,13, ...) и 5, 10 и 23 мандат.
1-ва стъпка: намерете причината.
За да намерите съотношението, просто изчислете разликата между два последователни члена: 5 - 1 = 4; тогава в този случай r = 4.
2-ра стъпка: намерете общия термин.
Откъде знаем, че1= 1 и r = 4, нека заместим във формулата.
Theне= a1 + r (n - 1)
Theне= 1 + 4 (n - 1)
Theне= 1 + 4n - 4
Theне= 4n - 3 → общ срок на PA
3-та стъпка: познавайки общия член, нека изчислим 5-ия, 10-ия и 23-ия член.
5-ти член → n = 5
Theне= 4n - 3
The5=4·5 – 3
The5=20 – 3
The5=17
10-и член → n = 10
Theне= 4n - 3
The10=4·10 – 3
The10=40 – 3
The10=37
23-и член → n = 23
Theне= 4n - 3
The23=4·23 – 3
The23=92 – 3
The23=89
Видове аритметични прогресии
Има три възможности за PA. Тя може да бъде увеличаваща се, намаляваща или постоянна.
Нарастващ
Както подсказва името, аритметичната прогресия се увеличава, когато, с увеличаване на сроковете се увеличава и тяхната стойност., тоест вторият член е по-голям от първия, третият е по-голям от втория и т.н.
The1 2 3 4 < …. не
За да се случи това, съотношението трябва да е положително, т.е. PA се увеличава, ако r> 0.
Примери:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
низходящ
Както подсказва името, аритметичната прогресия намалява, когато, с увеличаване на сроковете стойността им намалява, тоест вторият член е по-малък от първия, третият е по-малък от втория и т.н.
The1 > на2 > на3 > на4 > …. > нане
За да се случи това, съотношението трябва да е отрицателно, т.е. PA се увеличава, ако r <0.
Примери:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Постоянно
Аритметичната прогресия е постоянна, когато, тъй като сроковете се увеличават, стойността остава същата., тоест първият член е равен на втория, който е равен на третия и т.н.
The1 =2 =3 =4 = …. = aне
За да бъде PA постоянен, съотношението трябва да е равно на нула, т.е. r = 0.
Примери:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Вижте също: Продукт на термините на PG - каква е формулата?
Свойства на PA
1-ви имот
Като се има предвид всеки срок на PA, средно аритметично аритметика между неговия наследник и предшественик е равно на този термин.
Пример:
Помислете за прогресията (-1, 2, 5, 8, 11) и термина 8. Средната стойност между 11 и 5 е равна на 8, тоест сумата на наследника с предшественика на число в PA винаги е равна на това число.
2-ри имот
Сумата от равнопоставени членове винаги е равна.
Пример:
Сбор на условията на PA
Да предположим, че искаме да добавим шестте термина за BP, показани по-горе: (16,13,10,7,4,1). Можем просто да добавим техните условия - в този случай е малко термини, възможно е - но ако е така по-дълъг низ, трябва да използвате свойството. Знаем, че сумата от равнопоставени членове винаги е равна, както видяхме в свойството, така че ако изпълним това добавете веднъж и умножете по половината от сумата, имаме сумата от първите шест членове на ПАН.
Обърнете внимание, че в примера бихме изчислили сумата на първото и последното, което е равно на 17, умножено по половината от срока, тоест 17 по 3, което е равно на 51.
Формулата на сбор от термини на PA тя е разработена от математика Гаус, който реализира тази симетрия в аритметични прогресии. Формулата е написана по следния начин:
сне → сума от n елемента
The1 → първи срок
Theне → последен срок
n → брой термини
Пример:
Изчислете сумата на нечетните числа от 1 до 2000.
Резолюция:
Знаем, че тази последователност е PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Изпълнението на сумата би било много работа, така че формулата е доста удобна. От 1 до 2000 половината числа са нечетни, така че има 1000 нечетни числа.
Данни:
n → 1000
The1 → 1
Theне → 1999
Също така достъп: Сума от краен PG - как да го направя?
Интерполация на аритметичните средства
Познавайки два непоследователни термина на аритметична прогресия, е възможно да се намерят всички термини, които попадат между тези две числа, това, което знаем като интерполация на аритметични средства.
Пример:
Нека интерполираме 5 аритметични средни между 13 и 55. Това означава, че има 5 числа между 13 и 55 и те образуват прогресия.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
За да намерите тези числа, е необходимо да намерите причината. Ние знаем първия член (1 = 13), а също и 7-ият член (7= 55), но знаем, че:
Theне =1 + r · (n - 1)
Когато n = 7 → aне= 55. Ние също знаем стойността на a1=13. Така че, замествайки го във формулата, трябва:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Знаейки причината, можем да намерим термини, които са между 13 и 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
решени упражнения
Въпрос 1 - (Enem 2012) - Играта на карти е дейност, която стимулира разсъжденията. Традиционна игра е пасианс, който използва 52 карти. Първоначално с картите се оформят седем колони. Първата колона има една карта, втората има две карти, третата има три карти, четвъртата има четири карти и т.н. последователно до седмата колона, която има седем карти, и това, което съставлява купчината, които са неизползваните карти в колони.
Броят на картите, които съставляват купчината, е:
А) 21.
Б) 24.
В) 26.
Г) 28.
Д) 31.
Резолюция
Алтернатива Б.
Първо нека изчислим общия брой карти, които са били използвани. Работим с AP, чийто първи срок е 1, а съотношението също е 1. И така, изчислявайки сумата от 7 реда, последният член е 7 и стойността на n също е 7.
Знаейки, че общият брой на използваните карти е 28 и че има 52 карти, купчината се формира от:
52 - 28 = 24 карти
Въпрос 2 - (Enem 2018) Кметството на малък град във вътрешността решава да постави стълбове за осветление около по прав път, който започва от централен площад и завършва до ферма в района. селски. Тъй като площадът вече има осветление, първият стълб ще бъде поставен на 80 метра от площада, вторият на 100 метра, третият на 120 метра и т.н. последователно, винаги спазвайки разстояние от 20 метра между стълбовете, докато последният стълб не бъде поставен на разстояние 1380 метра от квадрат.
Ако градът може да плати максимум 8 000,00 R $ за поставена публикация, най-високата сума, която можете да похарчите за поставяне на тези публикации, е:
А) 512 000,00 BRL.
Б) 520 000,00 BRL.
В) R $ 528 000,00.
Г) 552 000,00 BRL.
Д) 584 000,00 BRL.
Резолюция
Алтернатива В.
Знаем, че стълбовете ще бъдат поставени на всеки 20 метра, т.е. r = 20, и че първият член на този PA е 80. Също така знаем, че последният срок е 1380, но не знаем колко термина има между 80 и 1380. За да изчислим този брой термини, нека използваме формулата на общия термин.
Данни: ане = 1380; The1=80; и r = 20.
Theне= a1 + r · (n-1)
Ще бъдат поставени 660 публикации. Ако всеки от тях ще струва максимум 8 000 R $, най-високата сума, която може да бъде похарчена за поставянето на тези публикации, е:
66· 8 000 = 528 000
От Раул Родригес де Оливейра
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
