Триъгълна матрица: видове, детерминанта, упражнения

Матрицата е триъгълна когато всички елементи над главния диагонал или елементи под главния диагонал са нула. Има две възможни класификации за този тип матрица: първата е, когато елементите над основния диагонал са нула, което създава долна триъгълна матрица; второто е, когато елементите под основния диагонал са нула, създавайки горна триъгълна матрица.

За да изчислите детерминантата на триъгълна матрица по правилото на Сарус, просто изпълнете основното умножение по диагонал, тъй като всички останали умножения ще бъдат равни на нула.

Прочетете също: Масив - какво представлява и съществуващите типове

Триъгълната матрица е частен случай на матрица.

Типове триъгълни матрици

За да разберете какво е триъгълна матрица, е важно да запомните какъв е основният диагонал на квадратна матрица, която е матрицата, която има еднакъв брой редове и колони. Основният диагонал на матрицата са членовете a._ij, където i = j, т.е. те са условията, при които номерът на реда е равен на номера на колоната.

Пример:

Условията на главния диагонал са маркирани в червено.

Разбирайки какво е квадратна матрица и какъв е нейният основен диагонал, нека знаем какво е триъгълна матрица и нейните класификации. Има три възможни класификации за триъгълната матрица: Theдолна триъгълна матрица и горна триъгълна матрица.

• Долна триъгълна матрица: възниква, когато всички членове над главния диагонал са равни на нула и условията под основния диагонал са реални числа.

Числен пример:

• Горна триъгълна матрица: възниква, когато всички членове под главния диагонал са равни на нула, а членовете над главния диагонал са реални числа.

Числен пример:

диагонална матрица

Диагоналната матрица е a частен случай на триъгълна матрица. В него единствените термини, които са ненулеви, са тези, които се съдържат в основния диагонал. Членовете над или под основния диагонал са равни на нула.

Числени примери за диагонална матрица:

Детерминант на триъгълна матрица

Дадена триъгълна матрица при изчисляване на детерминантата на тази матрица по Правилото на Сарус, можете да видите, че всички умножения са равни на нула, с изключение на умножението на члена на главния диагонал.

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃ + на₁₂ · А₂₃ · 0 + на₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 + на₁₁ · А₂₃ · 0 + на₁₂ · 0· А₃₃)

Имайте предвид, че във всички термини, с изключение на първия, нулата е един от факторите и всички умножение по нула е равно на нула, така че:

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃

Имайте предвид, че това е произведението между условията на основния диагонал.

Независимо от броя на редовете и колоните, които има триъгълна матрица, нейното детерминанта винаги ще бъде равна на произведението на членовете на главния диагонал.

Вижте също: Детерминант - функция, приложена към квадратни матрици

Свойства на триъгълна матрица

Триъгълната матрица има някои специфични свойства.

• 1-ви имот: детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на членовете на главния диагонал.
• 2-ри имот: произведението между две триъгълни матрици е триъгълна матрица.
• 3-ти имот: ако един от членовете на главния диагонал на триъгълната матрица е равен на нула, тогава нейният детерминант ще бъде равен на нула и следователно няма да бъде обратим.
• 4-ти имот: обратната матрица на триъгълна матрица също е триъгълна матрица.
• 5-то свойство: сумата от две горни триъгълни матрици е горна триъгълна матрица; по същия начин сумата от две долни триъгълни матрици е долна триъгълна матрица.

решени упражнения

1) Като се има предвид матрицата A, стойността на детерминантата на A е:

а) 2

б) 0

в) 9

г) 45

д) 25

Резолюция

Алтернатива d.

Тази матрица е по-ниско триъгълна, така че нейният детерминант е умножаването на членове по главния диагонал.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Преценете следните твърдения.

I → Всяка квадратна матрица е триъгълна.

II → Сумата на горна триъгълна матрица с долна триъгълна матрица винаги е триъгълна матрица.

III → Всяка диагонална матрица за идентичност е триъгълна матрица.

Правилният ред е:

а) V, V, V.

б) F, F, F.

в) F, V, F.

г) F, F, V.

д) V, V, F.

Резолюция

Алтернатива d.

I → False, защото всяка триъгълна матрица е квадратна, но не всяка квадратна матрица е триъгълна.

II → Невярно, тъй като сумата между горна и долна триъгълна матрица не винаги води до триъгълна матрица.

III → Вярно, тъй като членовете, различни от диагонала, са равни на нула.

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm