При операции между матрици знаем, че умножението на матрици е дълъг и трудоемък процес. По този начин днес ще знаем теорема, която избягва да се налага да се намери продуктовата матрица, за да се изчисли нейната детерминанта, и в която детерминантата на всяка матрица може да се използва отделно.
За това ще посочим теоремата на Бине и ще видим как тя се прилага при изчисляването на детерминанти.
„Нека A и B са две квадратни матрици от един и същ ред, а AB продуктовата матрица, като по този начин имаме, че det (AB) = (det A). (Det B).“
Тоест, вместо да се намери матрицата-продукт и след това да се изчисли детерминантата, е възможно да се изчисли детерминантата на всяка матрица и да се умножат.
Нека разгледаме един пример, за да разберем колко трудна би била работата, ако не съществуваше теоремата на Бине.
Пример 1:
Ако нямахме теоремата на Бине, ще трябва да направим следния процес, за да изчислим det (A.B).
1. Намерете продуктовата матрица (A.B).
2. Изчислете детерминантата на матрицата-продукт.
Ако нямахте калкулатор, който да прави тези умножения с големи числа, би било трудно, нали?
Вижте изчислението на същата детерминанта, но използвайки теоремата на Бине.
Първо нека намерим детерминантата на всяка матрица, поотделно:
Както видяхме, по теорема на Бине det (AB) = (det A). (Det B):
Пример 2:
Ще направим изчисленията отново, като използваме двете процедури:
Това наистина е много по-лесен и практичен процес в сравнение с предишния, в края на краищата спестява работата, за да се намери матрицата-продукт, което е дълъг и трудоемък процес. Освен това детерминанта матрица-продукт най-често има произведение на големи числа, което води до трудоемко умножение и изчисляване на няколко числа.
От Габриел Алесандро де Оливейра
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия
Матрица и детерминанта- Математика - Бразилско училище
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm