Факторинг - це процес, який використовується в математиці, який полягає у поданні числа або виразу як продукту множників.
Написавши поліном, як множення інших поліномів, ми часто можемо спростити вираз.
Ознайомтеся з видами множини на множини нижче:
Спільний фактор доказів
Ми використовуємо цей тип розкладання на множники, коли існує коефіцієнт, який повторюється в усіх термінах многочлена.
Цей множник, який може містити цифри та літери, буде розміщений перед дужками.
Усередині дужок буде результат ділення кожного члена многочлена на загальний множник.
На практиці зробимо такі кроки:
1º) Визначте, чи існує число, яке ділить усі коефіцієнти багаточлена та букви, що повторюються в усіх доданках.
2º) Поставте загальні множники (цифри та літери) перед дужками (на підтвердження).
3-те) Розмістіть у дужках результат ділення кожного множника многочлена на коефіцієнт, який є в наявності. У випадку листів ми використовуємо правило розподілу повноважень тієї самої бази.
Приклади
а) Яка розкладена на множники форма многочлена 12x + 6y - 9z?
По-перше, ми визначаємо це число 3 ділить всі коефіцієнти і що немає букви, яка повторюється.
Поставляємо перед дужками число 3, ділимо всі доданки на три і результат, який ми вносимо всередину дужок:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
б) Фактор 2а2b + 3a3c - a4.
Оскільки не існує числа, яке ділить 2, 3 і 1 одночасно, ми не будемо ставити жодне число перед дужками.
Лист повторюється в усіх термінах. Спільним фактором буде 2, що є найменшим показником у виразі.
Ми ділимо кожен доданок многочлена на 2:
2-й2 b:2 = 2-й2 - 2 b = 2b
3-й3c:2 = 3-й3 - 2 c = 3ac
4: а2 =2
Ми ставимо 2 перед дужками та результати поділу в дужках:
2-й2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
групування
У поліномі, який не існує фактора, який повторюється у всіх термінах, ми можемо використовувати множник на множники за допомогою групування.
Для цього ми повинні визначити терміни, які можна згрупувати за загальними факторами.
У цьому типі розкладання на множники ми доводимо загальні фактори угруповань.
Приклад
Множник поліном mx + 3nx + my + 3ny
Умови mx і 3nx має загальним фактором х. вже терміни мій і 3ни мають загальним фактором р.
Підтвердження цих факторів:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Зауважимо, що (m + 3n) тепер також повторюється в обох термінах.
Знову підтверджуючи це, ми знаходимо множну форму многочлена:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Ідеальний квадратний тричлен
Триноми - це багаточлени з 3 доданками.
Ідеальні квадратні тричлени a2 + 2ab + b2 та2 - 2ab + b2 результат чудового продукту типу (a + b)2 та (а - б)2.
Таким чином, множник ідеального квадратного тричлена буде на множник:
2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (квадрат суми двох доданків)
2 - 2ab + b2 = (а - б)2 (квадрат різниці двох доданків)
Щоб з’ясувати, чи справді тричлен є ідеальним квадратом, ми робимо наступне:
1º) Обчисліть квадратний корінь доданків, які здаються в квадраті.
2) Помножте знайдені значення на 2.
3-е) Порівняйте знайдене значення з терміном, який не має квадратів. Якщо вони рівні, це ідеальний квадрат.
Приклади
а) Множник многочлена х2 + 6x + 9
Спочатку ми повинні перевірити, чи багаточлен є ідеальним квадратом.
√x2 = x та √9 = 3
Помноживши на 2, знаходимо: 2. 3. x = 6x
Оскільки знайдене значення дорівнює доданку, який не має квадрата, то поліном досконалий у квадраті.
Таким чином, факторизація буде:
х2 + 6x + 9 = (x + 3)2
б) множник на поліном x2 - 8xy + 9y2
Перевірка, чи це ідеальний квадратний тричлен:
√x2 = x та √9y2 = 3р
Множення: 2. х. 3y = 6xy
Знайдене значення не відповідає члену многочлена (8xy ≠ 6xy).
Оскільки це не ідеальний квадратний тричлен, ми не можемо використовувати цей тип розкладання на множники.
Різниця двох квадратів
На множник многочленів типу a2 - Б2 ми використовуємо чудовий добуток суми та різниці.
Таким чином, на множники многочленів цього типу розкладемо:
2 - Б2 = (a + b). (а - б)
Щоб розкласти на множники, ми повинні обчислити квадратний корінь з двох доданків.
Потім запишіть добуток суми знайдених значень та різниці між цими значеннями.
Приклад
Множник 9x двочлен2 - 25.
Спочатку знайдіть квадратний корінь з доданків:
√9x2 = 3x і √25 = 5
Запишіть ці значення як добуток суми та різниці:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
ідеальний куб
багаточлени a3 + 3-й2b + 3ab2 + b3 та3 - 3-й2b + 3ab2 - Б3 результат чудового продукту типу (a + b)3 або (а - б)3.
Таким чином, розглянута форма ідеального куба:
3 + 3-й2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
3 - 3-й2b + 3ab2 - Б3 = (а - б)3
Щоб розбити такі багаточлени, ми повинні обчислити кубічний корінь доданків із куба.
Потім необхідно підтвердити, що поліном є ідеальним кубом.
Якщо так, ми кубували суму або віднімання значень знайдених кубічних коренів.
Приклади
а) Множник многочлена х3 + 6x2 + 12x + 8
Спочатку обчислимо кубічний корінь доданків в кубі:
3√ х3 = х і 3√ 8 = 2
Потім підтвердьте, чи це ідеальний куб:
3. х2. 2 = 6x2
3. х. 22 = 12x
Оскільки знайдені члени збігаються з членами в поліномі, то це ідеальний куб.
Таким чином, факторизація буде:
х3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
б) множник многочлена а3 - 9-й2 + 27-е - 27-е
Спочатку обчислимо кубічний корінь доданків в кубі:
3до3 = a та 3√ - 27 = - 3
Потім підтвердьте, чи це ідеальний куб:
3.2. (-3) = - 9-е2
3.. (- 3)2 = 27-й
Оскільки знайдені члени збігаються з членами в поліномі, то це ідеальний куб.
Таким чином, факторизація буде:
3 - 9-й2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Читайте теж:
- Потенціювання
- Поліноми
- Поліноміальна функція
- прості числа
Розв’язані вправи
Розкладемо на множники наступні поліноми:
а) 33x + 22y - 55z
б) 6nx - 6ни
в) 4x - 8c + mx - 2mc
г) 49 -2
д) 9-й2 + 12-й + 4
а) 11. (3x + 2y - 5z)
б) 6н. (х - у)
в) (х - 2в). (4 + м)
г) (7 + а). (7 - а)
д) (3 + 2)2
Дивіться також:
- Алгебраїчні вирази
- Вправи з алгебраїчних виразів
- Помітні товари
- Помітні продукти - вправи
