Сума внутрішнього та зовнішнього кутів опуклого многокутника

ти опуклі багатокутники це ті, які не мають увігнутості. Щоб побачити, чи опуклий багатокутник, ми повинні спостерігати, що будь-який відрізок прямої лінії з кінцями на малюнку не проходить через зовнішню область.

У опуклих многокутниках є формули, що дозволяють визначити суму внутрішнього та зовнішнього кутів. Перевіряти!

Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника

Формула сума внутрішніх кутів опуклого многокутника з n сторін це:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Демонстрація:

Якщо ми подивимось, то побачимо, що кожен опуклий многокутник можна розділити на певну кількість трикутників. Див. Кілька прикладів:

Отже, пам’ятаючи, що сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 °, ми можемо побачити, що сума внутрішніх кутів на цих малюнках вище буде задана кількістю трикутників, на які можна було б поділити фігуру, помножену на 180 °:

чотирикутник: 2 трикутники ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Пентагон: 3 трикутники ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Шестикутник: 4 трикутники ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Отже, щоб отримати формулу для обчислення суми внутрішніх кутів опуклого многокутника, нам просто потрібно знати, загалом кажучи, на скільки трикутників можна поділити опуклий многокутник.

instagram story viewer

Якщо спостерігати, існує залежність між цією величиною та кількістю сторін фігур. Кількість трикутників дорівнює кількості сторін фігури мінус 2, тобто:

$\ dpi {120} \ mathrm {Всього \, з \, три \ капелюх {a} кути = n - 2}$

Чотирикутник: 4 сторони ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Пентагон: 5 сторін ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Шестикутник: 6 сторін ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Отже, загалом сума внутрішніх кутів опуклого многокутника дається за формулою: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Яку формулу ми хотіли продемонструвати.

Приклад:

Знайдіть суму внутрішніх кутів опуклого ікосагона.

Ікосагон - це 20-сторонній многокутник, тобто n = 20. Замінимо це значення у формулі:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Отже, сума внутрішніх кутів опуклого ікосагону дорівнює 3240 °.

Сума зовнішніх кутів многокутника

THE сума зовнішніх кутів опуклого многокутника завжди дорівнює 360 °, тобто:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Демонстрація:

Перегляньте кілька безкоштовних курсів

Безкоштовний Інтернет-курс інклюзивної освіти
Безкоштовна онлайн-бібліотека іграшок та навчальний курс
Безкоштовний онлайн-курс з математичних ігор з дошкільної освіти
Безкоштовний онлайн-курс педагогічних культурних майстер-класів

Продемонструємо на прикладах, що сума зовнішніх кутів опуклого многокутника не залежить від кількості сторін фігури і завжди дорівнює 360 °.

Чотирикутник:

чотирикутник Зверніть увагу, що кожен внутрішній кут утворює кут 180 ° із зовнішнім кутом. Отже, оскільки існує чотири вершини, сума всіх кутів дається 4. 180° = 720°.

Тобто: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Незабаром:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

Одного разу $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , тоді:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Пентагон:

У п’ятикутнику ми маємо 5 вершин, тому сума всіх кутів дається 5. 180° = 900°. Незабаром: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Тоді: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . Одного разу $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , тоді: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Шестикутник:

У шестикутнику ми маємо 6 вершин, тому сума всіх кутів дається 6. 180° = 1080°. Незабаром: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Тоді: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . Одного разу $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , тоді: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Як бачите, у всіх трьох прикладах сума зовнішніх кутів, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , в результаті 360 °.

Приклад:

Сума внутрішнього та зовнішнього кутів багатокутника дорівнює 1800 °. Що це за багатокутник?

Ми маємо: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Знаючи, що в будь-якому багатокутнику $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , то маємо: