Розв’язування рівнянь - повсякденна діяльність. Інтуїтивно ми вирішуємо рівняння у своєму повсякденному житті, і навіть не усвідомлюємо цього. Задавши наступне запитання: "О котрій годині мені вставати, щоб ходити до школи, щоб цього не робити Запізнитись?" і ми отримуємо відповідь, ми фактично просто вирішили рівняння, де невідоме - це час. Ці повсякденні запитання завжди спонукали математиків усіх часів до пошуку рішень та методів розв’язування рівнянь.
Формула Баскари - один із найвідоміших методів розв’язання рівняння. Це „рецепт”, математична модель, яка майже миттєво забезпечує корені рівняння 2-го ступеня. Цікаво, що формул для розв’язування рівнянь не так багато, як можна подумати. Рівняння третього та четвертого ступеня дуже складні для розв’язування, і є формули розв’язування найпростіших випадків таких типів рівнянь.
Цікаво знати, що ступінь рівняння визначає, скільки коренів воно має. Ми знаємо, що рівняння 2-го ступеня має два корені. Отже, рівняння 3-го ступеня матиме три корені тощо. А тепер давайте розглянемо, що відбувається з деякими рівняннями.
Приклад. Розв’яжіть рівняння:
а) х2 + 3x - 4 = 0
Рішення: Застосовуючи формулу Баскари для розв’язання рівняння 2-го ступеня, отримуємо:
Ми знаємо, що a = 1, b = 3 і c = - 4. Таким чином,
Оскільки ми вирішуємо рівняння 2-го ступеня, у нас є два корені.
б) х3 – 8 = 0
Рішення: У цьому випадку ми маємо неповне рівняння третього ступеня з простою роздільною здатністю. 
Рішення: У цьому випадку ми маємо неповне рівняння 4-го ступеня, яке також називають рівнянням бі-квадрат. Рішення цього рівняння також є простим. Подивіться:
x рівняння4 + 3x2 - 4 = 0 можна переписати наступним чином:
(х2)2 + 3x2 – 4 =0
робити х2 = t і підставляючи у наведене вище рівняння, отримуємо:
т2 + 3t - 4 = 0 → що є рівнянням 2-го ступеня.
Ми можемо вирішити це рівняння, використовуючи формулу Баскари.
Ці значення не є корінням рівняння, оскільки невідоме є x, а не t. Але ми повинні:
х2 = t
Тоді,
х2 = 1 або х2 = – 4
з х2 = 1, отримуємо, що x = 1 або x = - 1.
з х2 = - 4, ми отримуємо, що немає дійсних чисел, які б задовольняли рівняння.
Отже, S = {- 1, 1}
Зверніть увагу, що в якості альтернативи у нас було рівняння 2-го ступеня, і ми знайшли два корені. В якості альтернативи B ми розв’язуємо рівняння 3-го ступеня і знаходимо лише один корінь. І елемент рівняння ç, це було рівняння 4-го ступеня, і ми знайшли лише два корені.
Як зазначалося раніше, ступінь рівняння визначає, скільки коренів воно має:
2 клас → два корені
3 клас → три корені
4 клас → чотири корені
Але що сталося з альтернативними рівняннями B і ç?
Виявляється, рівняння ступеня n ≥ 2 може мати реальні корені та складні корені. У випадку рівняння третього ступеня пункту b ми знаходимо лише один дійсний корінь, два інших корені - це комплексні числа. Те саме стосується рівняння в пункті c: ми знаходимо два реальних кореня, два інших є складними.
Про складні корені маємо таку теорему.
Якщо комплексне число a + bi, b ≠ 0, є коренем рівняння a0хнемає +1хn-1+... +n-1x + aнемає = 0, дійсних коефіцієнтів, тому його спряжена, a - bi, також є коренем рівняння.
Наслідками теореми є:
• Рівняння 2-го ступеня з дійсними коефіцієнтами → має лише реальні корені або два спряжені складні корені.
• Рівняння 3-го ступеня з дійсними коефіцієнтами → має лише реальні корені або один дійсний корінь та два спряжені складні корені.
• Рівняння 4-го ступеня з дійсними коефіцієнтами → має лише реальні корені або два складних спряжених кореня та два дійсних або лише чотири складних спряжених кореня, два на два.
• Рівняння 5-го ступеня з дійсними коефіцієнтами → має лише реальні корені або два складні корені спряжений, а інший дійсний або принаймні один дійсний корінь, а інші складні корені - два по два спряжений.
Те саме стосується рівнянь градусів більше 5.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Марсело Рігонатто
Фахівець із статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії
Комплексні числа - Математика - Бразильська школа
Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:
РІГОНАТТО, Марсело. "Кількість коренів рівняння"; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm. Доступ 29 червня 2021 року.
