Відношення Ейлера — це рівність, яка зв’язує кількість вершин, ребер і граней у опуклих многогранниках. Там сказано, що кількість граней плюс кількість вершин дорівнює кількості ребер плюс два.
Співвідношення Ейлера задається так:
де,
Ф - кількість граней,
В кількість вершин,
THE кількість ребер.
Ми можемо використовувати відношення Ейлера, щоб визначити або підтвердити невідомі значення V, F або A, коли багатогранник є опуклим.
| Багатогранник | Ф | В | THE | F+V | А + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| куб | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| трикутна піраміда | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| П'ятикутна основа призма | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| правильний октаедр | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Приклад
Опуклий многогранник має 20 граней і 12 вершин. Визначити кількість ребер.
Використовуючи відношення Ейлера та ізолюючи A:
Підставляємо значення F і V:
Грані, вершини та ребра
Багатогранники — це суцільні тривимірні геометричні фігури без закруглених сторін. Ці сторони є гранями (F) багатогранника.
Зустріч граней ми називаємо ребрами (А).
Вершини - це точки, де зустрічаються три або більше ребер.
опуклі многогранники
Опуклі багатогранники є геометричними тілами, які не мають увігнутості, тому на жодній з їх граней немає внутрішніх кутів більше 180º.
У цьому багатограннику внутрішній кут, позначений синім кольором, має більше 180º, тому він не є опуклим многогранником.
Детальніше про багатогранники.
Вправи на відношення Ейлера
Вправа 1
Знайдіть кількість граней у многограннику з 9 ребрами і 6 вершинами.
Правильна відповідь: 5 граней.
Використовуючи відношення Ейлера:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Вправа 2
Додекаедр — платонове тіло з 12 гранями. Знаючи, що він має 20 вершин, визначте його кількість ребер.
Правильна відповідь:
Використовуючи відношення Ейлера:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = А
32 - 2 = А
30 = А
Вправа 3
Як називається багатогранник з 4 вершинами і 6 ребрами відносно кількості його граней, де грані є трикутниками?
Відповідь: тетраедр.
Нам потрібно визначити його кількість граней.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Многогранник, який має 4 грані у вигляді трикутників, називається тетраедром.
Ким був Леонард Пауль Ейлер?
Леонард Пауль Ейлер (1707-1783) був одним з найдосвідченіших математиків і фізиків в історії, а також зробив внесок у дослідження астрономії. Німецькомовний швейцарець, він був професором фізики в Петербурзькій академії наук, а потім у Берлінській академії. Він опублікував кілька досліджень з математики.
Також дізнайтеся:
- Геометричні тіла
- Просторова геометрія
- Геометричні фігури
- Призма - геометрична фігура
- піраміда
- Бруківка
- куб
