Аналітична геометрія вивчає геометричні елементи в системі координат на площині або просторі. Ці геометричні об'єкти визначаються їх розташуванням і положенням щодо точок і осей цієї системи орієнтації.
З часів стародавніх народів, таких як єгиптяни та римляни, ідея координат вже з'явилася в історії. Але саме в 17 столітті, з роботами Рене Декарта і П’єра де Ферма, ця область математики була систематизована.
Декартова ортогональна система
Ортогональна декартова система є опорною базою для визначення місцезнаходження координат. Він складається на площині двома перпендикулярними осями одна до одної.
- Початок O(0,0) цієї системи є перетином цих осей.
- Вісь x — це абсцис.
- Вісь y є ординатою.
- Чотири квадранти спрямовані проти годинникової стрілки.
замовлена пара
Будь-яка точка на площині має координату P(x, y).
x є абсцисою точки P і становить відстань від її ортогональної проекції на вісь x до початку координат.
y — ордината точки P і відстань від її ортогональної проекції на вісь y до початку координат.
відстань між двома точками
Відстань між двома точками на декартовій площині є довжиною відрізка, що з'єднує ці дві точки.
Формула відстані між двома точками і
будь-який.
Координати середини
Середина — це точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини.
буття середина відрізка
, його координати є середніми арифметичними осами абсцис і ординати.
і
Умова вирівнювання трьох точок
Враховуючи бали: .
Ці три точки будуть вирівняні, якщо визначник наступної матриці дорівнює нулю.
Приклад
Кутовий коефіцієнт прямої
схил прямої є тангенс її нахилу
відносно осі х.
Щоб отримати нахил з двох точок:
Якщо m > 0, то лінія зростаюча, інакше, якщо m < 0, пряма спадає.
загальне рівняння прямої
Де ,Б і ç є постійними дійсними числами і, The і Б вони не є одночасно нульовими.
Приклад
Рівняння лінії, знаючи точку та нахил
дано бал і схил
.
Рівняння прямої буде мати вигляд:
Приклад
Зведена форма прямого рівняння
де:
m - ухил;
n – лінійний коефіцієнт.
немає впорядковується там, де пряма перетинає вісь y.
Приклад
Подивіться Рівняння лінії.
Відносне положення між двома паралельними прямими на площині
Дві різні прямі є паралельними, якщо їх нахили рівні.
якщо пряма р має нахил , і прямий с має нахил
, вони паралельні, коли:
Для цього ваші нахили повинні бути рівними.
Тангенси рівні, коли кути рівні.
Відносне положення між двома конкуруючими прямими на площині
Дві лінії є одночасними, якщо їхні нахили різні.
У свою чергу, схили відрізняються, коли їх кути нахилу відносно осі x різні.
перпендикулярні лінії
Дві остачі є перпендикулярними, якщо добуток їх нахилів дорівнює -1.
дві прямі р і s, виразні, з схилами і
, перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли:
або
Інший спосіб дізнатися, чи є дві прямі перпендикулярними, — це з їх рівнянь у загальному вигляді.
Рівняння прямих r і s такі:
Дві прямі, перпендикулярні до нього, коли:
Подивіться Перпендикулярні лінії.
Окружність
Коло — це геометричне місце на площині, де всі точки P(x, y) знаходяться на однаковій відстані р від його центру C(a, b), де р є мірою радіуса буття.
Рівняння кола в зменшеному вигляді
де:
р Радіус, відстань між будь-якою точкою на вашій дузі та центром. Ç.
The і Б – координати центру Ç.
загальне рівняння кола
Його отримують шляхом розробки доданків у квадраті приведеного рівняння кола.
Дуже часто у вправах показують загальну форму рівняння окружності, також відому як нормальна форма.
конічний
Слово конічний походить від конуса і відноситься до кривих, отриманих шляхом його розрізу. Еліпс, гіпербола і парабола - це криві, які називаються конічними.
Еліпс
Еліпс — це замкнута крива, отримана перерізом прямого кругового конуса площиною, похиломою до осі, яка не проходить через вершину і не паралельна її твірним.
На площині множина всіх точок, сума відстаней яких до двох внутрішніх нерухомих точок є постійною.
Еліпсові елементи:
- F1 і F2 — фокуси еліпса;
- 2c — фокусна відстань еліпса. Це відстань між F1 і F2;
- Точка О це центр еліпса. Це середина між F1 і F2;
- A1 і A2 — вершини еліпса;
- сегмент
велика вісь і дорівнює 2а.
- сегмент
мала вісь дорівнює 2b.
- Ексцентриситет
де 0 < і < 1.
Рівняння скороченого еліпса
Розглянемо точку P(x, y), що міститься в еліпсі, де x — абсцис, а y — ордината цієї точки.
Центр еліпса в початку координат системи і велика вісь (AA) на осі x.
Центр еліпса в початку координат системи і велика вісь (AA) на осі y.
Зведене рівняння еліпса з осями, паралельними осям координат
враховуючи точку як походження декартової системи і, точка
як центр еліпса.
Велика вісь АА, паралельна осі х.
Велика вісь AA, паралельна осі y.
Гіпербола
Гіпербола — це набір точок на площині, де різниця між двома фіксованими точками F1 і F2 дає постійне додатне значення.
Елементи гіперболи:
- F1 і F2 — вогнища гіперболи.
- 2c =
– фокусна відстань.
- Центр гіперболи - це точка о, Середнє значення сегмента F1F2.
- A1 і A2 — вершини.
- 2a = A1A2 — дійсна або поперечна вісь.
- 2b = B1B2 — уявна або спряжена вісь.
-
це ексцентриситет.
Через трикутник B1OA2
Зведене рівняння гіперболи
З дійсною віссю навколо осі x і центром у початку координат.
З дійсною віссю на осі y і центром у початку координат.
Рівняння гіперболи з осями, паралельними осям координат
Дійсна вісь АА паралельна осі х і центр .
Дійсна вісь AA паралельна осі y і центр .
Притча
Парабола — це геометричне місце, де множина точок P(x, y) знаходиться на однаковій відстані від нерухомої точки F і прямої d.
Елементи притчі:
- F — фокус притчі;
- d — пряма напрямна;
- Вісь симетрії - це пряма лінія, що проходить через фокус F і перпендикулярна до направляючої.
- V — вершина параболи.
- p — відрізок однакової довжини між фокусом F і вершиною V e, між вершиною і директивою d.
Зведені рівняння параболи
З вершиною в початку координат і віссю симетрії на осі y.
Якщо p>0 увігнутість вгору.
Якщо p<0 увігнутість вниз.
З вершиною в початку координат і віссю симетрії на осі x.
Якщо p>0 увігнутість вправо.
Якщо p<0 увігнутість ліворуч.
З віссю симетрії, паралельною осі y і вершиною .
З віссю симетрії, паралельною осі x і вершиною .
практика з Вправи з аналітичної геометрії.
Дізнайтеся більше на:
Картезіанський план
відстань між двома точками
конічний
Розрахунок кутового коефіцієнта
