Відстань між двома точками

Відстань між двома точками є мірою відрізка, що з’єднує їх.

Ми можемо розрахувати цей показник за допомогою аналітичної геометрії.

Відстань між двома точками на площині

У площині точка повністю визначається, знаючи впорядковану пару (x, y), пов’язану з нею.

Щоб знати відстань між двома точками, ми спочатку представимо їх у декартовій площині, а потім обчислимо цю відстань.

Приклади:

1) Яка відстань між точкою А (1.1) та точкою В (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Яка відстань між точкою А (4.1) та точкою В (1,3)?

Зверніть увагу, що відстань між точкою А і точкою В дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника з катетами 2 і 3.

Отже, ми будемо використовувати Теорема Піфагора для обчислення відстані між даними точками.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Формула відстані між двома точками на площині

Щоб знайти формулу відстані, ми можемо узагальнити розрахунок, зроблений у прикладі 2.

Для будь-яких двох точок, таких як A (x₁yy₁) та B (x₂р₂), ми маємо:

Щоб дізнатись більше, читайте також:

• геометрія площини
• Декартовий план
• прямий

Відстань між двома точками у просторі

Для представлення точок у просторі ми використовуємо тривимірну систему координат.

Точка повністю визначається у просторі, коли з нею пов’язана впорядкована потрійна (x, y, z).

Щоб знайти відстань між двома точками у просторі, спочатку ми можемо представити їх у системі координат, а звідти виконати обчислення.

Приклад:

Яка відстань між точкою А (3,1,0) і точкою В (1,2,0)?

У цьому прикладі ми бачимо, що точки A і B належать площині xy.

Відстань буде задано:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Формула відстані між двома точками у просторі

Щоб дізнатись більше, читайте також:

• Просторова геометрія
• Рівне рівняння
• Формули з математики

Розв’язані вправи

1) Точка A належить до осі абсцис (вісь x) і рівновіддалена від точок B (3.2) та C (-3.4). Які координати точки А?

Див. Відповідь

Оскільки точка A належить до осі абсцис, то її координата дорівнює (a, 0). Тож ми повинні знайти значення a.

(0 - 3)² + (до - 2)² = (0 + 3)² + (до -4)²
Від 9 + до² - 4a +4 = 9 + a² - 8-й + 16-й
4-й = 12
a = 3
(3.0) - координати точки А.

2) Відстань від точки А (3, а) до точки В (0,2) дорівнює 3. Обчисліть значення ординати a.

Див. Відповідь

3² = (0 - 3)² + (2 - а)²
9 = 9 + 4 - 4а + а^2
2 - 4-й +4 = 0
a = 2

3) ЕНЕМ - 2013

За останні роки телебачення зазнало справжньої революції щодо якості зображення, звуку та інтерактивності з глядачем. Це перетворення зумовлене перетворенням аналогового сигналу в цифровий. Однак у багатьох містах досі немає цієї нової технології. Прагнучи принести ці переваги трьом містам, телевізійна станція має намір побудувати нову вежу передачі, яка надсилає сигнал до антен А, В і С, які вже існують у цих містах. Розташування антен представлені в декартовій площині:

Вежа повинна бути розташована на рівній відстані від трьох антен. Належне місце для спорудження цієї вежі відповідає координатній точці

а) (65; 35)
б) (53; 30)
в) (45; 35)
г) (50; 20)
д) (50; 30)

Див. Відповідь

Правильна альтернатива e: (50; 30)

Дивіться також: відстань між двома балами вправи

4) ENEM - 2011

Сусідство міста планувалося в рівнинному регіоні з паралельними та перпендикулярними вулицями, що обмежують блоки однакових розмірів. У наступній декартовій координатній площині це сусідство розташоване у другому квадранті, а відстані в
осі даються в кілометрах.

Пряма лінія рівняння y = x + 4 являє собою планування маршруту лінії метро, ​​яка перетинатиме околиці та інші райони міста.
У точці P = (-5,5) знаходиться державна лікарня. Громада попросила комітет з планування спланувати станцію метро, ​​щоб відстань до лікарні, виміряна по прямій лінії, не перевищувала 5 км.
Відповідаючи на запит громади, комітет правильно аргументував, що це буде автоматично виконано, оскільки будівництво станції в цьому пункті вже передбачалося.

а) (-5,0)
б) (-3,1)
в) (-2,1)
г) (0,4)
д) (2.6)

Див. Відповідь

Правильна альтернатива b: (-3.1).

Дивіться також: вправи з аналітичної геометрії