Шестикутник — це шестигранний багатокутник із шістьма вершинами, тому він має шість кутів. Шестикутник — плоска фігура, має два виміри, утворена замкнутою і простою многокутною лінією, яка не перетинається.
Шість сторін шестикутника є прямими лініями, послідовно з’єднаними вершинами, що обмежують внутрішню область.
Шестикутник зустрічається в багатьох утвореннях у природі, таких як вулики, кристали льоду або навіть органічна хімія в структурах вуглецю та інших атомів.
В архітектурі та техніці шестикутники використовуються як конструктивні та декоративні елементи, в гвинтах і ключах, для мощення доріг та інших інженерних комунікацій.
Слово шестикутник походить з грецької мови, де hex означає число шість, а gonia — кут. Отже, фігура з шістьма кутами.
Елементи шестикутників
A, B, C, D, E і F — вершини шестикутника.
сегменти є сторонами шестикутника.
– це внутрішні кути.
– це зовнішні кути.
d — діагоналі.
Види шестикутників
За розмірами сторін і кутів шестикутники поділяються на правильні і неправильні, опуклі і неопуклі.
Неправильні шестикутники
Неправильні шестикутники мають різні розміри сторін і кутів. Їх поділяють на дві групи: опуклі і неопуклі.
Опуклі неправильні форми
У опуклих шестикутниках всі точки діагоналі знаходяться в області багатокутника і жоден кут не перевищує 180°.
Неопуклі неправильні форми
У неопуклих шестикутниках є діагоналі, які мають точки за межами площі многокутника і мають кути більше 180°.
правильні шестикутники
Правильні шестикутники мають шість сторін і однакові кути, тому вони рівносторонні та рівнокутні.
Усі правильні шестикутники є опуклими, оскільки жодні діагоналі не виходять за межі многокутника.
Правильний шестикутник — це композиція із шести рівносторонніх трикутників.
Рівносторонні трикутники — це трикутники, у яких усі три сторони й кути однакові.
площа правильного шестикутника
Площа шестикутника обчислюється за формулою:
Оскільки L є мірою сторони шестикутника, площа залежить тільки від L.
Детальніше читайте на площа шестикутника.
Периметр правильного шестикутника
Периметр шестикутника є мірою сторони, помноженої на шість.
Апофема шестикутника
Апотема шестикутника - це відрізок, який з'єднує середину однієї сторони з центральною точкою шестикутника.
Апотема правильного шестикутника обчислюється за формулою:
Внутрішні кути правильних шестикутників
Вимірювання внутрішніх кутів правильного шестикутника дорівнює 120°.
Сума їхніх внутрішніх кутів дорівнює 720°.
120° x 6 = 720°
Зовнішні кути правильних шестикутників
Вимірювання зовнішніх кутів правильного шестикутника дорівнює 60°.
Формула для вимірювання зовнішніх кутів правильного многокутника:
Де – міра зовнішніх кутів, а n – кількість сторін.
Якщо n=6 у шестикутниках, ми маємо:
Інший спосіб дізнатися міру зовнішніх кутів – це пара внутрішніх і зовнішніх кутів, оскільки вони в сумі дорівнюють 180°, будучи додатковими.
Оскільки внутрішній кут дорівнює 120°, просто відніміть, щоб визначити, скільки градусів залишилося до 180°.
180° - 120° = 60°
кількість діагоналей
Шестикутник має 9 діагоналей.
Є два способи визначити кількість діагоналей:
1-й спосіб - підрахунок.
2-й спосіб - через формулу діагоналей многокутника.
Де n - кількість сторін многокутника. Якщо n=6 у шестикутнику, ми маємо:
Шестикутник, вписаний в коло
Усередині кола знаходиться шестикутник, вписаний в коло, а його вершини знаходяться на колі.
Оскільки трикутник AOB на малюнку рівносторонній, радіус кола та сторони шестикутника рівні.
Шестикутник, описаний до кола
Шестикутник описано в колі, коли коло знаходиться всередині шестикутника.
Окружність дотична до сторін шестикутника.
Радіус кола дорівнює апотемі шестикутника. Замінивши, маємо:
Тоді
облицювання плиткою
Плитка або мозаїка — це практика покриття поверхні геометричними фігурами.
Правильні шестикутники є одними з небагатьох багатокутників, які повністю заповнюють поверхню.
Щоб правильний багатокутник міг розкладати плитку, тобто заповнювати поверхню, не залишаючи зазорів, має виконуватися така геометрична умова:
Внутрішні кути правильного шестикутника дорівнюють 120°. У розкладці шестикутників ми помічаємо, що три шестикутники зустрічаються у вершині. Таким чином, маємо:
120° + 120° + 120° = 360°
Вправа 1
(Enem 2021) Студент, житель міста Контагема, почув, що в цьому місті є вулиці, які утворюють правильний шестикутник. Шукаючи на карті сайту, він виявив, що факт правдивий, як показано на малюнку.
Доступно на: www.google.com. Доступ: 7 грудня. 2017 (адаптовано).
Він зазначив, що карта, виведена на екран комп’ютера, має масштаб 1:20 000. У цей момент він виміряв довжину одного з відрізків, які утворюють сторони цього шестикутника, знайшовши 5 см.
Якщо цей учень вирішить повністю обійти вулиці, які утворюють цей шестикутник, він проїде кілометр,
до 1.
б) 4.
в) 6.
г) 20.
д) 24.
Правильна відповідь: в) 6.
Периметр шестикутника дорівнює:
P = 6.L
Оскільки сторона дорівнює 5 см, маємо Р = 6,5 = 30 см
Відповідно до масштабу кожен 1 см на карті еквівалентний 20 000 см у реальному вимірі.
Оскільки хід буде 30 см, ми маємо:
30 х 20 000 = 600 000 см
щоб перетворити його в км, ділимо на 100 000.
600 000 / 100 000 = 6
Отже, учень проїде 6 км.
Вправа 2
(EEAR 2013) Нехай — правильний шестикутник і рівносторонній трикутник, обидва за сторонами l. Співвідношення між апотемами шестикутника і трикутника дорівнює
а) 4.
б) 3.
в) 2.
г) 1.
Правильна відповідь: б) 3.
Апотема шестикутника:
Апотема трикутника:
Співвідношення між апотемами шестикутника і трикутника таке:
Співвідношення дорівнює 3.
Вправа 3
(CBM-PR 2010) Розглянемо дорожній знак у формі правильного шестикутника зі сторонами 1 сантиметр. Відомо, що правильний l-сторонній шестикутник утворений шістьма l-сторонніми рівносторонніми трикутниками. Оскільки зчитування цього знака (таблички) залежить від площі знака A, маємо, що A, як функція довжини l, визначається як:
в)
б)
ç)
г)
і)
Правильна відповідь: б)
Площа рівностороннього трикутника дорівнює
У випадку шестикутника основа дорівнює стороні, тому замінимо b на L.
Висота трикутника дорівнює апофемі шестикутника і може бути визначена за теоремою Піфагора.
Повертаючись до формули трикутника.
Оскільки площа шестикутника дорівнює шести трикутникам, то обчислену площу множимо на шість.
Оскільки міра пластини в сантиметрах, площа вимірюється в см².
Таким чином ми маємо:
вас може зацікавити
- Багатокутники
- Вправи над багатокутниками
