Бісектриса: що це, бісектриса відрізка та трикутника

Бісектриса - це пряма, перпендикулярна до відрізка лінії, що проходить через середину цього відрізка.

Усі точки, що належать бісектрисі, рівновіддалені від кінців цього відрізка.

Пам’ятаючи, що, на відміну від нескінченної прямої, відрізок лінії обмежений двома точками на прямій. Тобто це вважається частиною лінії.

Як побудувати бісектрису?

Ми можемо побудувати бісектрису прямої за допомогою лінійки та циркуля. Для цього виконайте такі дії:

1. Накресліть відрізок лінії, а на його кінцях позначте точки А і точки В.
2. Візьміть міру і зробіть отвір, який трохи більше половини довжини сегмента.
3. За допомогою цього отвору розмістіть сухий кінець компаса в точці А і намалюйте півколо. Залишаючись з тим самим отвором у барі, зробіть те ж саме в точці B.
4. Прокреслені півкола перетиналися в двох точках, одна над відрізком лінії і одна нижче. За допомогою лінійки з’єднайте ці дві точки, ця проведена лінія є бісектрисою відрізка AB.

Бісектриса трикутника

Бісектриси трикутника - це перпендикулярні лінії, проведені через середину кожної з його сторін. Таким чином, трикутник має 3 бісектриси.

Викликається точка зустрічі цих трьох бісектрис циркумцентр. Ця точка, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної з її вершин, є центром описаного кола в трикутнику.

Медіана, бісектриса та висота трикутника

У трикутнику, крім бісектрис, ми можемо побудувати медіани, які є відрізками прямих, які також проходять через середину сторін.

Різниця полягає в тому, що поки бісектриса утворює a кут 90º зі стороною, медіана приєднує вершину до середини протилежних сторін, утворюючи кут, який може бути або не бути 90º.

Ми все ще можемо побудувати висоту і бісектриси. Висота також перпендикулярна сторонам трикутника, але частина його вершини. На відміну від бісектриси, висота не обов'язково проходить через середину сторони.

Починаючи з вершини, ми можемо простежити внутрішні бісектриси, які є відрізками прямих ліній, що ділять кути трикутника на два інших кути тієї ж міри.

У трикутнику ми можемо провести три медіани, і вони зустрічаються в точці, яка називається баріцентр. Цю точку називають центром ваги трикутника.

Баріцентр ділить медіани на дві частини, оскільки відстань від точки до вершини вдвічі більша за відстань від точки до сторони.

Тоді як називається точка зустрічі висот (або їх продовжень) ортоцентр, скликається зустріч внутрішніх бісектрис центр.

розв’язані вправи

1) Epcar - 2016 рік

Земля у формі прямокутного трикутника буде розділена на два лоти парканом, зробленим на бісектрисі гіпотенузи, як показано на малюнку.

Відомо, що сторони AB і BC цього рельєфу вимірюють відповідно 80 м і 100 м. Таким чином, співвідношення між периметром партії I та периметром партії II, у такому порядку, становить

Див. Відповідь

Щоб знайти співвідношення між периметрами, необхідно знати вимірювання всіх сторін партії I та партії II.

Однак ми не знаємо вимірювань сторін , і лота я, ні міра лоту II.

Для початку ми можемо знайти значення міри збоку , застосовуючи теорему Піфагора, тобто:

Ми також могли б знайти це значення, зазначивши, що ми маємо кратну трикутнику Піфагора 3, 4 і 5.

Таким чином, якщо одна сторона вимірює 80 м (4. 20), інші - 100 м (5. 20), тож третя сторона може вимірювати лише 60 м (3. 20).

Ми знаємо, що паркан є бісектрисою гіпотенузи, тому він ділить цю сторону на дві рівні частини, утворюючи зі стороною кут 90º. Таким чином, трикутник ПМБ є прямокутником.

Зверніть увагу, що трикутники PMB і ACB подібні, оскільки мають кути з однаковим вимірюванням. називаючи сторону з х, у нас є та сторона буде дорівнює 80-х.

Тому ми можемо записати такі пропорції:

Нам ще потрібно знайти міру збоку . Щоб знайти це значення, назвемо цю сторону y. За подібністю трикутників ми знаходимо таку пропорцію:

Тепер, коли ми знаємо вимірювання з усіх боків, ми можемо розрахувати периметри партій:

Перш ніж розрахувати периметр партії II, зрозумійте, що вимірювання буде дорівнює , тобто . Таким чином, периметр буде таким:

Таким чином, співвідношення між периметрами буде дорівнює:

Альтернатива: d)

2) Енем - 2013 рік

За останні роки телебачення зазнало справжньої революції щодо якості зображення, звуку та інтерактивності з глядачем. Це перетворення зумовлене перетворенням аналогового сигналу в цифровий. Однак у багатьох містах досі немає цієї нової технології. Прагнучи принести ці переваги трьом містам, телевізійна станція має намір побудувати нову вежу передачі, яка надсилає сигнал до антен A, B і C, які вже існують у цих містах. Розташування антен представлені в декартовій площині:

Вежа повинна бути розташована на рівній відстані від трьох антен. Належне місце для спорудження цієї вежі відповідає координатній точці

а) (65; 35).
б) (53; 30).
в) (45; 35).
г) (50; 20).
д) (50; 30).

Див. Відповідь

Оскільки ми хочемо, щоб вежа була побудована в рівновіддаленому від трьох антен місці, вона повинна бути розташована в якійсь точці, що належить бісектрисі прямої AB, як показано на зображенні нижче:

З зображення робимо висновок, що абсциса точки буде дорівнювати 50. Тепер нам потрібно знайти значення ординати. Для цього давайте врахуємо, що відстань між точками AT та AC рівні:

Альтернатива: e) (50; 30)

Докладніше про деякі суміжні теми:

• Теорема Піфагора
• Відрізок
• Перпендикулярні прямі
• конічна