Транспонована матриця: визначення, властивості та вправи

Транспонування матриці A - це матриця, яка має ті самі елементи, що і A, але розміщена в іншому положенні. Це отримується шляхом упорядкованого транспортування елементів від ліній А до стовпців транспонування.

Отже, задана матриця A = (a_ij)_mxn транспонування A є A^т = (а ’_ji) _{n x m}.

Бути,

i: положення лінії
j: положення стовпця
_ij: елемент масиву в позиції ij
m: кількість рядків у матриці
n: кількість стовпців у матриці
THE^т: транспонована матриця A

Зауважимо, що матриця A має порядок m x n, тоді як її транспонування A^т має порядок n x m.

Приклад

Знайдіть матрицю, транспоновану з матриці B.

Оскільки дана матриця має тип 3x2 (3 рядки та 2 стовпці), її транспонування буде типу 2x3 (2 рядки та 3 стовпці).
Для побудови транспонованої матриці ми повинні записати всі стовпці B як рядки B^т. Як зазначено на діаграмі нижче:

Таким чином, транспонована матриця B матиме вигляд:

Дивіться теж: Матриці

Властивості транспонованої матриці

(THE^т)^т= A: Ця властивість вказує на те, що транспонування транспонованої матриці є вихідною матрицею.

instagram story viewer

(A + B)^т = A^т + В^т: транспонування суми двох матриць дорівнює сумі транспонування кожної з них.
(THE. Б)^т = B^т. THE^т: транспонування множення двох матриць дорівнює добутку транспонування кожної з них, у зворотному порядку.
det (M) = det (M^т): визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці.

Симетрична матриця

Матриця називається симетричною, коли для будь-якого елемента матриці A дорівнює рівність a_ij =_ji це правда.

Матриці цього типу є квадратними матрицями, тобто кількість рядків дорівнює кількості стовпців.

Кожна симетрична матриця задовольняє наступним співвідношенням:

A = A^т

Протилежна матриця

Важливо не плутати протилежну матрицю з транспонованою. Протилежна матриця - це та, яка містить однакові елементи в рядках і стовпцях, проте з різними знаками. Отже, протилежність B дорівнює –B.