Дві різні лінії, що знаходяться в одній площині, є паралельними, коли мають єдину спільну точку.
Паралельні прямі утворюють 4 кути один до одного, і, згідно з вимірами цих кутів, вони можуть бути перпендикулярними або косими.
Коли утворені ними 4 кути дорівнюють 90º, їх називають перпендикулярними.
На малюнку під рядками р і s є перпендикулярними.
Якщо кути, що утворюються, відрізняються від 90º, їх називають косими конкурентами. На малюнку нижче ми представляємо лінії u і v похилі коси.
Конкуруючі, випадкові та паралельні лінії
Дві прямі, що належать одній площині, можуть бути одночасними, збіжними або паралельними.
Хоча паралельні прямі мають єдину точку перетину, збіжні прямі мають принаймні дві спільні точки та паралельні прямі у них немає спільних моментів.
Відносне положення двох прямих
Знаючи рівняння двох прямих, ми можемо перевірити їх взаємне розташування. Для цього ми повинні вирішити систему, утворену рівняннями двох прямих. Отже, маємо:
- Паралельні рядки: система можлива і визначена (спільна точка).
- Лінії збігів: система можлива і визначена (спільна нескінченна точка).
- Паралельні лінії: система неможлива (немає спільних точок).
Приклад:
Визначте відносне положення між прямою r: x - 2y - 5 = 0 та прямою s: 2x - 4y - 2 = 0.
Рішення:
Щоб знайти відносне положення між даними прямими, ми повинні розрахувати систему рівнянь, утворену їх прямими, тому маємо:
При розв’язанні системи додаванням знаходимо наступне рівняння 0y = - 8, оскільки рішення для цього рівняння не існує, це неможливо. Таким чином, дві прямі паралельні.
Протилежні кути за вершиною
Дві конкуруючі лінії утворюють дві пари кути. Ці кути мають спільну точку, яка називається вершиною.
Пари кутів, протилежних вершині, збіжні, тобто мають однакові виміри.
На малюнку нижче ми представляємо кути AÔB і CÔD, які протилежні вершині, а також кути AÔC і BÔD.
Точка перетину між двома одночасними прямими
Точка перетину двох паралельних прямих належить рівнянням двох прямих. Таким чином, ми можемо знайти спільні координати цієї точки, вирішуючи систему, утворену рівняннями цих прямих.
Приклад:
Визначте координати точки Р, спільної для прямих р і s, рівняння якого x + 3y + 4 = 0 та 2x - 5y - 2 = 0 відповідно.
Рішення:
Щоб знайти координати точки, треба розв’язати систему із заданими рівняннями. Отже, маємо:
Вирішуючи систему, ми маємо:
Підставляючи це значення у перше рівняння, знаходимо:
Отже, координати точки перетину є , тобто .
Дізнайтеся більше, також прочитавши:
- Перпендикулярні прямі
- прямий
- конічна
Розв’язані вправи
1) У системі ортогональної осі - 2x + y + 5 = 0 та 2x + 5y - 11 = 0 - це, відповідно, рівняння прямих r та s. Знайдіть координати точки перетину r і s.
P (3, 1)
2) Які координати вершин трикутника, знаючи, що рівняння опорних ліній його сторін становлять - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 і 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Визначте взаємне розташування прямих r: 3x - y -10 = 0 і 2x + 5y - 1 = 0.
Прямі лінії є паралельними, є точкою перетину (3, - 1).