Матриці: коментовані та розв’язані вправи

Матриця - це таблиця, сформована з дійсних чисел, розташованих у рядки та стовпці. Числа, що з’являються в матриці, називаються елементами.

Скористайтеся вирішеними та прокоментованими питаннями вступного іспиту, щоб очистити всі сумніви щодо цього вмісту.

Вирішено питання вступного іспиту

1) Unicamp - 2018

Нехай a і b - дійсні числа, такі що матриця A = задовольняє рівняння A²= aA + bI, де I - матриця тотожності порядку 2. Отже, добуток ab дорівнює

а) −2.
б) −1.
в) 1.
г) 2.

Див. Відповідь

Щоб з’ясувати цінність продукту a.b, нам спочатку потрібно знати значення a та b. Тож давайте розглянемо рівняння, подане в задачі.

Для розв’язання рівняння обчислимо значення A², що виконується шляхом множення матриці A на себе, тобто:

Ця операція виконується шляхом множення рядків першої матриці на стовпці другої матриці, як показано нижче:

Таким чином матриця A² це те саме, що:

Беручи до уваги значення, яке ми щойно знайшли, і пам’ятаючи, що в матриці ідентичності елементи основної діагоналі дорівнюють 1, а інші елементи дорівнюють 0, рівняння буде таким:

Тепер ми маємо помножити матрицю A на число a, а тотожну матрицю на число b.

Пам'ятайте, що для множення числа на масив ми множимо число на кожен елемент масиву.

Таким чином, наша рівність буде дорівнювати:

Додавши дві матриці, маємо:

Дві матриці рівні, коли всі відповідні елементи рівні. Таким чином, ми можемо написати таку систему:

Виділення a у другому рівнянні:

Підставляючи значення, знайдене для a у першому рівнянні, знаходимо значення b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Таким чином, продукт буде даватися:

. b = - 1. 2
. b = - 2

Альтернатива: а) −2.

2) Unesp - 2016

Точка P з координатами (x, y) ортогональної декартової площини представлена ​​матрицею стовпців. , а також матриця стовпців являє собою в ортогональній декартовій площині точку P координат (x, y). Таким чином, результат множення матриці є матрицею стовпців, яка в ортогональній декартовій площині обов'язково представляє точку, яка є

а) обертання P на 180 ° за годинниковою стрілкою з центром на (0, 0).
б) обертання Р на 90 ° проти годинникової стрілки з центром на (0, 0).
в) симетрична Р відносно горизонтальної осі х.
г) симетрична P відносно вертикальної осі y.
д) обертання Р на 90 ° за годинниковою стрілкою з центром на (0, 0).

Див. Відповідь

Точка P представлена ​​матрицею, так що абсциса (x) позначена елементом a.₁₁ і ординату (у) за елементом а₂₁ матриці.

Щоб знайти нове положення точки Р, ми повинні вирішити множення представлених матриць, і результат буде:

Результат представляє нову координату точки Р, тобто абсциса дорівнює -y, а ордината рівна x.

Щоб ідентифікувати перетворення, яке зазнало положення точки P, давайте зобразимо ситуацію в декартовій площині, як зазначено нижче:

Отже, точка Р, яка спочатку розташовувалася в 1-му квадранті (позитивна абсциса та ордината), перемістилася у 2-й квадрант (негативна абсциса та позитивна ордината).

При переході в це нове положення точку повертали проти годинникової стрілки, як зображено на зображенні вище червоною стрілкою.

Нам ще потрібно визначити, яким було значення кута повороту.

Підключивши вихідне положення точки P до центру декартової осі і зробивши те ж саме щодо її нового положення P ', ми маємо таку ситуацію:

Зверніть увагу, що два трикутники, зазначені на малюнку, збіжні, тобто вони мають однакові виміри. Таким чином, їх кути також однакові.

Крім того, кути α і θ доповнюють один одного, оскільки сума внутрішніх кутів трикутників дорівнює 180º, а оскільки трикутник прямокутний, сума цих двох кутів буде дорівнює 90º.

Отже, кут повороту точки, позначений на малюнку β, може дорівнювати лише 90º.

Альтернатива: б) обертання P на 90 ° проти годинникової стрілки з центром на (0, 0).

3) Unicamp - 2017 рік

Оскільки a є дійсним числом, розглянемо матрицю A = . Отже²⁰¹⁷ це те саме, що
The)
Б)
ç)
г)

Див. Відповідь

По-перше, спробуємо знайти зразок ступенів, оскільки помножувати матрицю А само по собі в 2017 р. Дуже багато.

Пам'ятаючи, що при множенні матриць кожен елемент знаходить шляхом додавання результатів множення елементів у рядку одного на елементи у стовпці іншого.

Почнемо з обчислення A²:

Результатом стала матриця ідентичності, і коли ми помножимо будь-яку матрицю на матрицю ідентичності, результатом буде сама матриця.

Отже, значення A³ буде дорівнює самій матриці A, оскільки A³ = A². THE.

Цей результат буде повторюватися, тобто коли показник степеня є парним, результатом є матриця ідентичності, а коли вона непарна, це буде сама матриця A.

Оскільки 2017 рік непарний, то результат буде дорівнює матриці А.

Альтернатива: b)

4) UFSM - 2011

Наведена схема представляє спрощений ланцюг живлення даної екосистеми. Стрілки вказують на вид, яким харчуються інші види. Призначаючи значення 1, коли один вид харчується іншим, і нуль, коли відбувається зворотне, ми маємо наступну таблицю:

Матриця A = (a_ij)_4x4, пов'язаний із таблицею, має такий закон про навчання:

Див. Відповідь

Оскільки номер рядка позначається i, а номер стовпця - j, і, дивлячись на таблицю, ми помічаємо, що коли i дорівнює j, або i більше J, результат дорівнює нулю.

Позиції, зайняті 1, це ті, в яких номер стовпця більше номера рядка.

Альтернатива: c)

5) Unesp - 2014

Розглянемо матричне рівняння A + BX = X + 2C, невідомою якого є матриця X, а всі матриці мають квадрат порядку n. Необхідною та достатньою умовою єдиного розв'язку цього рівняння є те, що:

а) B - I ≠ O, де I - ідентична матриця порядку n, а O - нульова матриця порядку n.
б) В оборотний.
в) B ≠ O, де O - нульова матриця порядку n.
г) B - I є оборотним, де I є матрицею тотожності порядку n.
д) А і С зворотні.

Див. Відповідь

Для розв’язання матричного рівняння нам потрібно виділити X з одного боку від знака рівності. Для цього спочатку віднімемо матрицю A з обох сторін.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Тепер віднімемо Х, також з обох сторін. У цьому випадку рівняння буде таким:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Оскільки I є матрицею ідентичності, коли ми множимо матрицю на ідентичність, результатом є сама матриця.

Отже, щоб виділити X, ми повинні тепер помножити обидві сторони знака рівності на обернену матрицю (B-I), тобто:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2С - А)

Пам'ятаючи, що коли матриця обернена, добуток матриці на обернене дорівнює ідентичності матриці.
X = (B - I) ^{- 1}. (2С - А)

Таким чином, рівняння матиме розв’язок, коли B - I обернене.

Альтернатива: d) B - I є оборотним, де I є матрицею ідентичності порядку n.

6) Енем - 2012 рік

Студент записував двомісячні оцінки деяких своїх предметів у таблицю. Він зазначив, що числові записи в таблиці утворювали матрицю 4х4, і що він міг обчислювати середньорічні середні показники для цих дисциплін, використовуючи добуток матриць. Усі тести мали однакову вагу, і таблиця, яку він отримав, наведена нижче

Щоб отримати ці середні значення, він помножив матрицю, отриману з таблиці, на

Див. Відповідь

Середнє арифметичне обчислюється шляхом додавання всіх значень і ділення на кількість значень.

Таким чином, студент повинен скласти оцінки 4 біместри і розділити результат на 4 або помножити кожну оцінку на 1/4 і додати всі результати.

Використовуючи матриці, ми можемо досягти того самого результату шляхом множення матриць.

Однак ми повинні пам’ятати, що помножити дві матриці можливо лише тоді, коли кількість стовпців в одному дорівнює кількості рядків в іншому.

Оскільки матриця приміток має 4 стовпці, матриця, яку ми збираємося помножити, повинна мати 4 рядки. Таким чином, ми повинні помножити на матрицю стовпця:

Альтернатива: і

7) Фувест - 2012 рік

Розглянемо матрицю , про те, що є дійсним числом. Знаючи, що A допускає обернене A^-1 чия перша колонка , сума елементів головної діагоналі A^-1 це те саме, що

а) 5
б) 6
в) 7
г) 8
д) 9

Див. Відповідь

Помноження матриці на її обернене дорівнює матриці ідентичності, тому ми можемо представити ситуацію наступною операцією:

Вирішуючи множення другого рядка першої матриці на перший стовпець другої матриці, маємо таке рівняння:

(до 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2-й² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2-й² - 4-й = 0
2-й (а - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Підставляючи значення а в матрицю, маємо:

Тепер, коли ми знаємо матрицю, давайте обчислимо її визначник:

Таким чином, сума головної діагоналі буде дорівнює 5.

Альтернатива: а) 5

Щоб дізнатись більше, див. Також:

• Матриці
• Визначники
• Правило Сарруса
• Теорема Лапласа
• Транспонована матриця