THE закон гріхів визначає, що в будь-якому трикутнику відношення синуса кута завжди пропорційне мірі сторони, протилежної цьому куту.
Ця теорема демонструє, що в одному і тому ж трикутнику співвідношення між значенням однієї сторони та синусом її протилежного кута завжди буде постійний.
Отже, для трикутника ABC зі сторонами a, b, c Закон гріхів допускає такі співвідношення:
Представлення законів гріхів у трикутнику
Приклад
Для кращого розуміння давайте обчислимо міру сторін AB і BC цього трикутника як функцію від міри b сторони AC.
За законом синусів ми можемо встановити такі відносини:
Отже, AB = 0,816b і BC = 1,115b.
Примітка: Значення синусів було проведено в таблиця тригонометричних співвідношень. У ній ми можемо знайти значення кутів від 1º до 90º кожної тригонометричної функції (синус, косинус та тангенс).
Кути 30º, 45º та 60º найбільше використовуються в розрахунках тригонометрії. Отже, їх називають чудовими кутами. Перегляньте таблицю зі значеннями нижче:
Тригонометричні відносини | 30° | 45° | 60° |
---|---|---|---|
Синус | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
косинус | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
Дотична | √3/3 | 1 | √3 |
Застосування закону гріхів
Закон Синуса ми використовуємо у гострих трикутниках, де внутрішні кути менше 90º (гострі); або у тупих трикутниках, які мають внутрішні кути більше 90º (тупі). У цих випадках ви також можете використовувати Закон косинусів.
Основною метою використання Закону гріхів або косинусів є виявлення вимірювань сторін трикутника, а також його кутів.
Представлення трикутників відповідно до їх внутрішніх кутів
А Закон гріхів у прямокутному трикутнику?
Як зазначалося вище, Закон гріхів використовується як у гострому, так і в тупому трикутнику.
У прямокутних трикутниках, утворених внутрішнім кутом 90º (прямим), ми використовували теорему Піфагора та співвідношення між її сторонами: протилежною, сусідньою стороною та гіпотенузою.
Зображення прямокутного трикутника та його сторін
Ця теорема має таке твердження: "сума квадратів їх катетів відповідає квадрату їх гіпотенузи". Його формула виражається:
H2 = приблизно2 + співпраця2
Таким чином, коли ми маємо прямокутний трикутник, синусом буде відношення між довжиною протилежного катета і довжиною гіпотенузи:
Він читає протилежне на гіпотенузі.
Косинус відповідає пропорції між довжиною сусіднього катета і довжиною гіпотенузи, представленою виразом:
Зчитується поруч із гіпотенузою.
Вправи на вступному іспиті
1.(UFPB) Мерія певного міста побудує над річкою, яка перетинає це місто, міст, який повинен бути прямим і з'єднувати дві точки, А і В, розташовані на протилежних берегах річки. Для вимірювання відстані між цими точками геодезист розташував третю точку С на відстані 200 м від точки А і на тому ж березі річки, що і точка А. Використовуючи теодоліт (точний прилад для вимірювання горизонтальних кутів та вертикальних кутів, який часто використовується в топографічних роботах), землемір помітив, що кути виміряні відповідно 30º і 105º, як показано на наступному малюнку.
Виходячи з цієї інформації, правильно стверджувати, що відстань у метрах від точки А до точки В становить:
об'єктивний: Визначте міру AB.
Ідея 1 - Закон гріхів для визначення AB
Фігура утворює трикутник ABC, де сторона AC вимірює 200 м, і ми маємо два визначені кути.
будучи кутом напроти сторони AC 200 м та кута C, протилежної стороні AB, ми можемо визначити AB через закон про гріхи.
THE закон про гріхи визначає, що співвідношення між вимірами сторін і синусами протилежних кутів, відповідних цим сторонам, рівні в одному і тому ж трикутнику.
Ідея 2 - визначити кут
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °, тому ми можемо визначити кут В.
B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °
Заміна значення в законі синусів і проведення розрахунків.
Зверніть увагу, що в знаменнику є квадратний корінь. Візьмемо цей корінь, здійснивши раціоналізацію, тобто множення знаменника і чисельника дробу на сам корінь.
Замінюючи значення змінного струму, ми маємо:
Отже, відстань між точками А і В дорівнює .
2. (Mackenzie - SP) Три острови A, B і C відображаються на карті масштабу 1: 10000, як показано на малюнку. З альтернативних варіантів найкращим чином наближається відстань між островами A та B:
а) 2,3 км
б) 2,1 км
в) 1,9 км
г) 1,4 км
д) 1,7 км
Правильна відповідь: д) 1,7 км
Мета: Визначити міру відрізка АВ.
Ідея 1: Використовуйте закон синуса, щоб знайти міру AB
Закон гріхів: Вимірювання сторін трикутника пропорційні синусам їх протилежних кутів.
Ідея 2: визначити кут
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º.
30 + 105 + С = 180
135 + С = 180
С = 180-135
С = 45
Ідея 3: Застосувати значення С у законі синусів
Ідея 4: наблизьте значення квадратного кореня та використовуйте шкалу
Виготовлення
12. 1,4 = 16,8
Шкала говорить 1: 10000, множачись:
16,8. 10000 = 168 000 см
Ідея 5: переміщення від см до км
168 000 см / 100 000 = 1,68 км
Висновок: Оскільки розрахована відстань становить 1,68 км, найближчою альтернативою є буква е.
Примітка: Щоб перейти від см до км, ми ділимо на 100 000, оскільки за наступною шкалою від сантиметрів до км ми лічимо 5 місць ліворуч.
км -5- hm -4- гребля -3- m -2- dm -1- см мм
3. (Unifor-CE) Відомо, що в кожному трикутнику міра кожної сторони прямо пропорційна синусу кута, протилежного стороні. Використовуючи цю інформацію, роблять висновок, що мірою сторони AB трикутника, показаного нижче, є:
Заява містить закон синусів.
З тригонометрії ми маємо таке: sin 120 = sin 60.
Заміна значень у формулі:
Щоб не залишати корінь у знаменнику, ми використовуємо раціоналізацію, помноживши знаменник і чисельник на корінь із 3.
Отже, міра на стороні АВ є .
Докладніше про тему:
- Синус, косинус і тангенс
- Тригонометрія
- Тригонометричні відносини
- Тригонометричне коло
- Тригонометричні функції
- Тригонометричні співвідношення