Закон про гріхи: застосування, приклад та вправи

THE закон гріхів визначає, що в будь-якому трикутнику відношення синуса кута завжди пропорційне мірі сторони, протилежної цьому куту.

Ця теорема демонструє, що в одному і тому ж трикутнику співвідношення між значенням однієї сторони та синусом її протилежного кута завжди буде постійний.

Отже, для трикутника ABC зі сторонами a, b, c Закон гріхів допускає такі співвідношення:

Представлення законів гріхів у трикутнику

Приклад

Для кращого розуміння давайте обчислимо міру сторін AB і BC цього трикутника як функцію від міри b сторони AC.

За законом синусів ми можемо встановити такі відносини:

Отже, AB = 0,816b і BC = 1,115b.

Примітка: Значення синусів було проведено в таблиця тригонометричних співвідношень. У ній ми можемо знайти значення кутів від 1º до 90º кожної тригонометричної функції (синус, косинус та тангенс).

Кути 30º, 45º та 60º найбільше використовуються в розрахунках тригонометрії. Отже, їх називають чудовими кутами. Перегляньте таблицю зі значеннями нижче:

Тригонометричні відносини	30°	45°	60°
Синус	1/2	√2/2	√3/2
косинус	√3/2	√2/2	1/2
Дотична	√3/3	1	√3

instagram story viewer

Застосування закону гріхів

Закон Синуса ми використовуємо у гострих трикутниках, де внутрішні кути менше 90º (гострі); або у тупих трикутниках, які мають внутрішні кути більше 90º (тупі). У цих випадках ви також можете використовувати Закон косинусів.

Основною метою використання Закону гріхів або косинусів є виявлення вимірювань сторін трикутника, а також його кутів.

Представлення трикутників відповідно до їх внутрішніх кутів

А Закон гріхів у прямокутному трикутнику?

Як зазначалося вище, Закон гріхів використовується як у гострому, так і в тупому трикутнику.

У прямокутних трикутниках, утворених внутрішнім кутом 90º (прямим), ми використовували теорему Піфагора та співвідношення між її сторонами: протилежною, сусідньою стороною та гіпотенузою.

Зображення прямокутного трикутника та його сторін

Ця теорема має таке твердження: "сума квадратів їх катетів відповідає квадрату їх гіпотенузи". Його формула виражається:

H² = приблизно²+ співпраця²

Таким чином, коли ми маємо прямокутний трикутник, синусом буде відношення між довжиною протилежного катета і довжиною гіпотенузи:

Він читає протилежне на гіпотенузі.

Косинус відповідає пропорції між довжиною сусіднього катета і довжиною гіпотенузи, представленою виразом:

Зчитується поруч із гіпотенузою.

Вправи на вступному іспиті

1.(UFPB) Мерія певного міста побудує над річкою, яка перетинає це місто, міст, який повинен бути прямим і з'єднувати дві точки, А і В, розташовані на протилежних берегах річки. Для вимірювання відстані між цими точками геодезист розташував третю точку С на відстані 200 м від точки А і на тому ж березі річки, що і точка А. Використовуючи теодоліт (точний прилад для вимірювання горизонтальних кутів та вертикальних кутів, який часто використовується в топографічних роботах), землемір помітив, що кути B C з надрядковим логічним сполучником A простір і простір C A з надрядковим логічним сполучником B виміряні відповідно 30º і 105º, як показано на наступному малюнку.

Виходячи з цієї інформації, правильно стверджувати, що відстань у метрах від точки А до точки В становить:

правий пробіл 200 квадратних коренів з 2 кінцевих пробілів кореня b Правий пробіл 180 квадратних коренів з 2 кінцевих пробілів кореня c дужок прямий пробіл 150 квадратних коренів з 2 пробілу d Правий простір в дужках 100 квадратних коренів з 2 пробілу та правий пробіл 50 квадратних коренів з 2

Див. Відповідь

Виділіть пробіл, простір двокрапки, праворуч, дужки, простір 100 квадратних коренів із 2

об'єктивний: Визначте міру AB.

Ідея 1 - Закон гріхів для визначення AB

Фігура утворює трикутник ABC, де сторона AC вимірює 200 м, і ми маємо два визначені кути.

будучи кутом Б з надрядковим логічним сполучником напроти сторони AC 200 м та кута C, протилежної стороні AB, ми можемо визначити AB через закон про гріхи.

чисельник A B над знаменником s і n пробіл 30 градусів знак кінця дробу, дорівнює простору чисельнику A C про знаменник s і n пробіл стиль початку шоу B з логічним сполученням верхній індекс кінець стилю кінець дріб

THE закон про гріхи визначає, що співвідношення між вимірами сторін і синусами протилежних кутів, відповідних цим сторонам, рівні в одному і тому ж трикутнику.

Ідея 2 - визначити кут

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °, тому ми можемо визначити кут В.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Заміна значення Б з надрядковим логічним сполучником в законі синусів і проведення розрахунків.

чисельник A B пробіл над знаменником s та n пробіл 30 градусів знак кінець простору дробу, що дорівнює простору чисельника A C над проміжком s знаменника та n пробілом B кінець дробу чисельник A B пробіл над знаменником s та n пробіл 30 градусів знак кінець пробілу дріб, що дорівнює простору чисельника A C над простором знаменника s e n пробіл знак 45 градусів кінець дробу чисельник A B пробіл над знаменником початковий стиль показує 1 половину кінця стилю кінець дробу, рівний пробіл чисельника A C над знаменником пробіл стиль початку показати чисельник квадратний корінь 2 над знаменником 2 кінець дробу кінець стилю кінець дробу 2 A B пробіл, рівний чисельнику 2 A C над знаменником квадратного кореня 2 кінця дробу A B пробіл, рівний чисельнику A C, над знаменником квадратного кореня 2 кінець дробу

Зверніть увагу, що в знаменнику є квадратний корінь. Візьмемо цей корінь, здійснивши раціоналізацію, тобто множення знаменника і чисельника дробу на сам корінь.

A B пробіл, що дорівнює чисельнику A C над квадратним коренем знаменника з 2 кінця простору дробу, рівний пробілу чисельнику A C пробілу. квадратний кореневий простір 2 над знаменником квадратний корінь 2 пробіл. квадратний простір кореня з 2 кінця простору дробу, що дорівнює простору чисельника A C пробіл. простір квадратний корінь з 2 над знаменником квадратний корінь з 4 кінця дробу простір, що дорівнює простору чисельника A C пробіл. квадратний простір кореня 2 над знаменником 2 кінець дробу

Замінюючи значення змінного струму, ми маємо:

Пробіл B, що дорівнює пробілу, чисельнику 200 пробілу. простір квадратний корінь 2 над знаменником 2 кінець дробу простір, рівний простору 100 квадратний корінь 2

Отже, відстань між точками А і В дорівнює 100 квадратних коренів площею 2 м .

2. (Mackenzie - SP) Три острови A, B і C відображаються на карті масштабу 1: 10000, як показано на малюнку. З альтернативних варіантів найкращим чином наближається відстань між островами A та B:

а) 2,3 км
б) 2,1 км
в) 1,9 км
г) 1,4 км
д) 1,7 км

Див. Відповідь

Правильна відповідь: д) 1,7 км

Мета: Визначити міру відрізка АВ.

Ідея 1: Використовуйте закон синуса, щоб знайти міру AB

Закон гріхів: Вимірювання сторін трикутника пропорційні синусам їх протилежних кутів.

чисельник 12 над знаменником s та n пробіл 30 кінець дробу, простір дорівнює простору чисельник A B над знаменник пробіл s і n пробіл стиль початку шоу C з логічним сполученням верхній індекс кінець стилю кінець космічна частка

Ідея 2: визначити кут

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º.

30 + 105 + С = 180
135 + С = 180
С = 180-135
С = 45

Ідея 3: Застосувати значення С у законі синусів

чисельник 12 над знаменником s та n пробіл 30 кінець дробу, простір дорівнює простору чисельник A B над знаменник пробіл s та n пробіл початок стилю показує 45 кінець стилю кінець дробу пробіл 12 пробіл. простір s і n простір 45 простір, що дорівнює простору A B простір. пробіл s і n простір 30 12 пробіл. просторовий чисельник квадратний корінь з 2 над знаменником 2 кінець дробу простір, рівний простору A B пробілу. пробіл 1 середній 6 квадратний корінь з 2 пробілу, що дорівнює чисельнику A B над знаменником 2 кінець дробу 12 квадратний корінь з 2 пробілу, що дорівнює простору A B

Ідея 4: наблизьте значення квадратного кореня та використовуйте шкалу

Виготовлення квадратний корінь з 4 приблизно рівний простір 1 кома 4

12. 1,4 = 16,8

Шкала говорить 1: 10000, множачись:

16,8. 10000 = 168 000 см

Ідея 5: переміщення від см до км

168 000 см / 100 000 = 1,68 км

Висновок: Оскільки розрахована відстань становить 1,68 км, найближчою альтернативою є буква е.

Примітка: Щоб перейти від см до км, ми ділимо на 100 000, оскільки за наступною шкалою від сантиметрів до км ми лічимо 5 місць ліворуч.

км -5- hm -4- гребля -3- m -2- dm -1- см мм

3. (Unifor-CE) Відомо, що в кожному трикутнику міра кожної сторони прямо пропорційна синусу кута, протилежного стороні. Використовуючи цю інформацію, роблять висновок, що мірою сторони AB трикутника, показаного нижче, є: