THE рівняння другого ступеня отримує свою назву, оскільки це поліноміальне рівняння, член якого найвищого ступеня має квадрат. Також називається квадратним рівнянням, воно представлене:
сокира2 + bx + c = 0
У рівнянні 2-го ступеня, х є невідомим і представляє невідоме значення. вже лірика , B і ç називаються коефіцієнтами рівняння.
Коефіцієнти є дійсними числами і коефіцієнтом він повинен відрізнятися від нуля, інакше він стає рівнянням 1-го ступеня.
Розв’язування рівняння другого ступеня означає пошук реальних значень х, які роблять рівняння істинним. Ці значення називаються корінням рівняння.
Квадратне рівняння має не більше двох дійсних коренів.
Повні та неповні рівняння середньої школи
Рівняння 2-го ступеня повна це ті, що мають усі коефіцієнти, тобто a, b і c відрізняються від нуля (a, b, c ≠ 0).
Наприклад, рівняння 5x2 + 2x + 2 = 0 завершено, оскільки всі коефіцієнти ненульові (a = 5, b = 2 і c = 2).
Квадратним рівнянням є неповна коли b = 0 або c = 0 або b = c = 0. Наприклад, рівняння 2x2 = 0 є неповним, оскільки a = 2, b = 0 і c = 0
Розв’язані вправи
1) Визначте значення х що складають рівняння 4x2 - 16 = 0 істина.
Рішення:
Наведене рівняння є неповним рівнянням 2-го ступеня, з b = 0. Для рівнянь цього типу ми можемо вирішити, виділивши х. Отже:
Зверніть увагу, що квадратний корінь з 4 може бути 2 і - 2, оскільки ці два квадратних числа призводять до 4.
Отже, коріння рівняння 4x2 - 16 = 0 є x = - 2 і х = 2
2) Знайдіть значення x так, щоб площа прямокутника внизу дорівнювала 2.
Рішення:
Площа прямокутника знаходить шляхом множення основи на висоту. Отже, ми повинні помножити задані значення і дорівнювати 2.
(х - 2). (х - 1) = 2
Тепер помножимо всі доданки:
х. х - 1. х - 2. х - 2. (- 1) = 2
х2 - 1x - 2x + 2 = 2
х2 - 3x + 2 - 2 = 0
х2 - 3x = 0
Після розв’язання множень та спрощень ми знаходимо неповне квадратне рівняння з c = 0.
Цей тип рівняння можна вирішити за допомогою факторизація, тому що х повторюється в обох термінах. Тож ми збираємось це довести.
х. (х - 3) = 0
Щоб добуток дорівнював нулю, x = 0 або (x - 3) = 0. Однак замінюючи х за нулем побічні вимірювання від’ємні, тож це значення не буде відповіддю на питання.
Отже, маємо, що єдино можливим результатом є (x - 3) = 0. Розв'язуючи це рівняння:
х - 3 = 0
х = 3
Таким чином, значення х так що площа прямокутника дорівнює 2 дорівнює х = 3.
Формула Баскари
Коли квадратне рівняння завершено, ми використовуємо Формула Баскари знайти корені рівняння.
Формула представлена нижче:
Дельта-формула
У формулі Бхаскари з'являється грецька буква Δ (дельта), який називають дискримінантом рівняння, оскільки за його значенням можна дізнатися кількість коренів, які матиме рівняння.
Для обчислення дельти використовуємо наступну формулу:
Крок за кроком
Щоб розв’язати рівняння 2-го ступеня, використовуючи формулу Баскари, ми повинні виконати такі дії:
1-й крок: Визначте коефіцієнти , B і ç.
Умови рівняння не завжди відображаються в однаковому порядку, тому важливо знати, як ідентифікувати коефіцієнти, незалежно від послідовності, в якій вони знаходяться.
коефіцієнт - число, яке відповідає значенню x2, О B - це число, яке супроводжує х це ç - незалежний термін, тобто число, яке відображається без x.
2-й крок: Обчисліть дельту.
Для обчислення коренів необхідно знати значення дельти. Для цього ми замінюємо літери у формулі значеннями коефіцієнтів.
З дельта-значення ми можемо заздалегідь знати кількість коренів, яке матиме рівняння 2-го ступеня. Тобто, якщо значення Δ більше нуля (Δ > 0), рівняння матиме два реальних і чітких кореня.
Якщо навпаки, дельта менше нуля (Δ), рівняння не матиме дійсних коренів, і якщо воно дорівнює нулю (Δ = 0), рівняння матиме лише один корінь.
3-й крок: Обчисліть коріння.
Якщо значення, знайдене для дельти, від’ємне, то більше не потрібно робити ніяких обчислень, і відповідь полягає в тому, що рівняння не має реальних коренів.
Якщо значення дельти дорівнює або перевищує нуль, ми повинні замінити всі літери на їх значення у формулі Бхаскари та обчислити корені.
Вправа вирішена
Визначте корені рівняння 2x2 - 3x - 5 = 0
Рішення:
Щоб вирішити це, спочатку потрібно визначити коефіцієнти, тому маємо:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Тепер ми можемо знайти значення дельти. Ми повинні бути обережними з правилами знаків і пам’ятати, що спочатку потрібно вирішити потенціювання і множення, а потім додавання і віднімання.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Оскільки знайдене значення є позитивним, ми знайдемо два різні значення для коренів. Отже, ми повинні вирішити формулу Баскари двічі. Отже, маємо:
Отже, коріння рівняння 2x2 - 3x - 5 = 0 є x = 5/2 і x = - 1.
Система рівнянь 2 ступеня
Коли ми хочемо знайти значення двох різних невідомих, які одночасно задовольняють два рівняння, ми маємо a система рівнянь.
Рівняння, з яких складається система, можуть бути 1-го та 2-го ступенів. Для вирішення цього типу системи ми можемо використовувати метод заміщення та метод додавання.
Вправа вирішена
Вирішіть систему нижче:
Рішення:
Для вирішення системи ми можемо використовувати метод додавання. У цьому методі ми додаємо подібні доданки з 1-го рівняння та з 2-го рівняння. Отже, ми зводимо систему до єдиного рівняння.
Ми все ще можемо спростити всі доданки в рівнянні на 3, і результатом буде рівняння x2 - 2x - 3 = 0. Вирішуючи рівняння, маємо:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Після пошуку значень x ми не повинні забувати, що нам все одно потрібно знайти значення y, які роблять систему істинною.
Для цього достатньо замінити значення, знайдені для x в одному з рівнянь.
р1 - 6. 3 = 4
р1 = 4 + 18
р1 = 22
р2 - 6. (-1) = 4
р2 + 6 = 4
р2 = - 2
Отже, значеннями, які задовольняють запропоновану систему, є (3, 22) та (-1, - 2)
Вас також може зацікавити Рівняння першого ступеня.
Вправи
питання 1
Розв’яжіть повне квадратне рівняння, використовуючи формулу Баскари:
2x2 + 7x + 5 = 0
Перш за все важливо дотримати кожен коефіцієнт у рівнянні, отже:
a = 2
b = 7
c = 5
За допомогою формули дискримінанта рівняння ми повинні знайти значення Δ.
Це для того, щоб пізніше знайти коріння рівняння за допомогою загальної формули або формули Баскари:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Зверніть увагу, що якщо значення Δ більше нуля (Δ > 0), рівняння матиме два реальних і чітких кореня.
Отже, знайшовши Δ, давайте замінимо його формулою Баскари:
Отже, значення двох реальних коренів такі: х1 = - 1 і х2 = - 5/2
Перевірте більше запитань на Рівняння середньої школи - вправи
питання 2
Розв’яжіть неповні рівняння другого ступеня:
а) 5x2 - x = 0
Спочатку шукаємо коефіцієнти рівняння:
a = 5
b = - 1
c = 0
Це неповне рівняння, де c = 0.
Для його обчислення ми можемо використовувати факторизацію, яка в даному випадку є доказом x.
5x2 - x = 0
х. (5x-1) = 0
У цій ситуації добуток буде дорівнювати нулю, коли x = 0 або коли 5x -1 = 0. Тож давайте обчислимо значення x:
Отже, коріння рівняння х1 = 0 і х2 = 1/5.
б) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
Це неповне рівняння другого ступеня, де b = 0, його обчислення можна зробити, виділивши x:
х1 = 1 і х2 = - 1
Отже, два корені рівняння є х1 = 1 і х2 = - 1
в) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
У цьому випадку в неповному рівнянні коефіцієнти b і c дорівнюють нулю (b = c = 0):
Отже, коріння цього рівняння мають значення х1 = х2 = 0
Щоб дізнатись більше, читайте також:
- Квадратична функція
- Сума і добуток
- нерівність
- ірраціональні рівняння
- Вершина Параболи
