Функція: що це, типи функцій та графіка

У математиці функція відповідає асоціації елементів двох множин, тобто функція вказує, як елементи пов'язані.

Наприклад, функція від A до B означає асоціювати кожен елемент, що належить до множини A, з a єдиний елемент, що становить набір B, тому значення A не може бути пов’язане з двома значеннями Б.

Позначення функції: f: A → B (читати: f від A до B).

Представлення функцій

в ролі f: A → B набір A називається доменом (D), а набір B - контрадоменом (CD).

Елемент B, пов’язаний з елементом A, називається функцією image. Групуючи всі зображення B, ми маємо набір зображень, який є підмножиною домену.

Приклад: Зверніть увагу на множини A = {1, 2, 3, 4} та B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} з функцією, яка визначає взаємозв'язок між елементами f: A → B дорівнює x → 2x. Отже, f(x) = 2x, і кожне x у множині A перетворюється у 2x у множині B.

Зверніть увагу, що набір A {1, 2, 3, 4} є входами, "помножте на 2" - це функція та значення B {2, 4, 6, 8}, які прив'язуються до елементів A - вихідні значення.

Отже, для цієї ролі:

• Домен {1, 2, 3, 4}
• Контрдомен {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• Набір зображень: {2, 4, 6, 8}

Типи функцій

Ролі класифікуються за їх властивостями. Ознайомтеся з основними типами нижче.

Функція надмірного струменя

В сюр’єктивна функція контрдомен такий самий, як і набір зображень. Отже, кожен елемент B є зображенням принаймні одного елемента A.

Позначення: f: A → B, виникає до Im (f) = B

Приклад:

Для вищевказаної функції:

• Домен {-4, -2, 2, 3}
• Контрдомен {12, 4, 6}
• Набір зображень: {12, 4, 6}

Функція інжектора

В ін’єкційна функція всі елементи A мають різні аналоги в B, і жоден з елементів A не має однакового зображення в B. Однак у B можуть бути елементи, які не пов’язані з жодним елементом в A.

Приклад:

Для вищевказаної функції:

• Домен: {0, 3, 5}
• Контрдомен {1, 2, 5, 8}
• Набір зображень: {1, 5, 8}

Функція Бієктора

В функція bijtora набори мають однакову кількість пов’язаних елементів. Ця функція отримує цю назву, оскільки вона є ін’єкційною та сюр’єктивною.

Приклад:

Для вищевказаної функції:

• Домен {-1, 1, 2, 4}
• Контрдомен {2, 3, 5, 7}
• Набір зображень: {2, 3, 5, 7}

обернена функція

THE обернена функція це тип бієкторної функції, тому вона одночасно і сюр’єктивна, і ін’єкційна.

Завдяки цьому типу функцій можна створювати нові функції шляхом інвертування елементів.

складова функція

THE складова функція - це тип математичної функції, що поєднує дві або більше змінних.

Дві функції, f та g, можна представити як функцію, що складається з:

туман (x) = f (g (x))
gof (x) = g (f (x))

модульна функція

THE модульна функція асоціює елементи в модулі, і їх кількість завжди додатна.

відповідна функція

THE афінна функція, яку також називають функцією 1-го ступеня, має темп зростання і постійний доданок.

f (x) = ax + b

a: схил
b: лінійний коефіцієнт

лінійна функція

THE лінійна функція є приватним випадком афінної функції, яка визначається як f (x) = ax.

Коли значення коефіцієнта (а), що супроводжує х функції, дорівнює 1, лінійна функція є функцією тотожності.

квадратична функція

THE квадратична функція її також називають функцією 2-го ступеня.

f (x) = осі²+ bx + c, де a ≠ 0

a, b і c: коефіцієнти поліноміальної функції ступеня 2.

логарифмічна функція

THE логарифмічна функція основи a представлено f (x) = log x, будучи додатним дійсним і a ≠ 1.

Коли ми інвертуємо логарифмічну функцію, ми маємо експоненціальну функцію.

експоненціальна функція

THE експоненціальна функція представляє змінну в показнику, а основа завжди більша за нуль і відрізняється від одиниці.

f (x) = a^х, де a> 0 та a ≠ 0

поліноміальна функція

THE поліноміальна функція визначається поліноміальними виразами.

f (x) = a_немає. х^немає +_{n - 1}. х^{n - 1} +... + а₂ . х² +₁. x + a₀

_немає, a_n-1,..., a₂, a₁, a₀: комплексні числа
n: ціле число
x: комплексна змінна

Тригонометричні функції

В тригонометричні функції пов'язані з поворотами в тригонометричному циклі, наприклад:

Функція синуса: f (x) = sin x
Функція косинуса: f (x) = cos x
Функція дотичної: f (x) = tg x

Графік функції

Спосіб відношення елемента y до елемента x виражається через графік, який дає нам уявлення про поведінку функції.

Кожна точка на графіку задається упорядкованою парою x та y, де x - вхідне значення, а y - результат співвідношення, визначеного функцією, тобто x → функція → y.

Для побудови графіка кожен х елемент функції повинен бути розміщений на горизонтальній осі (абсцисі), а елементи y розміщені на вертикальній осі (ординаті).

Ознайомтеся з деякими прикладами графіків функцій.

Використовуйте наступні списки вправ, щоб перевірити свої знання про функції.

• Вправи на афінні функції (1-й ступінь)
• Вправи на квадратичну функцію (2-й ступінь)
• Вправи на експоненційну функцію