ПА та ПГ: резюме, формули та вправи

THE арифметична прогресія - ПА - це послідовність значень, яка має постійну різницю між послідовними числами.

THE геометрична прогресія - PG представляє числа з однаковим коефіцієнтом при діленні двох послідовних доданків.

Хоча в арифметичній прогресії доданки отримуються додаванням різниці, спільної для попередника, умови геометричні прогресії знаходять множенням відношення на останнє число в послідовності, отримуючи таким чином доданок наступник.

Нижче наведено короткий опис двох типів прогресій.

Арифметична прогресія (AP)

Арифметична прогресія - це послідовність, утворена доданками, які відрізняються один від одного постійним значенням, яке називається коефіцієнтом, обчислюваним за:

Де,

р є причиною АТ;
₂ - другий доданок;
₁ це перший термін.

Отже, умови арифметичної прогресії можна записати наступним чином:

Зауважимо, що в ПА від немає Терміни формула загального терміна (_немає) послідовності:

_немає =₁ + (n - 1) r

Деякі приватні випадки: 3-членний AP представлений (x - r, x, x + r), а 5-членний AP має свої компоненти, представлені (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Види ПА

За значенням коефіцієнта арифметичні прогресії класифікуються на 3 типи:

1. Постійний: коли коефіцієнт дорівнює нулю, а члени ВР рівні.

Приклад: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), де r = 0

2. Вирощування: коли коефіцієнт більший за нуль, а доданок з другого - більший за попередній;

Приклад: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), де r = 2

3. низхідний: коли коефіцієнт менше нуля, а доданок від другого менше попереднього.

Приклад: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), де r = - 2

Арифметичні прогресії все ще можна класифікувати на кінцевий, коли вони мають певну кількість термінів, і нескінченний, тобто з нескінченними термінами.

Сума термінів PA

Сума доданків арифметичної прогресії обчислюється за формулою:

Де, немає - кількість термінів у послідовності, ₁ - перший термін і _немає є n-м членом. Формула корисна для вирішення питань, де дано перший і останній доданок.

Коли проблема має перший термін і причину АТ, ви можете скористатися формулою:

Ці дві формули використовуються для додавання термінів кінцевого ВР.

Середній термін дії ПА

Для визначення середнього або центрального члена ВР з непарною кількістю доданків ми обчислюємо середнє арифметичне з першим і останнім доданком (а₁ та_немає):

Середній термін між трьома послідовними числами PA відповідає середньому арифметичному попередника та наступника.

Розв’язаний приклад

З огляду на ПА (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) визначають співвідношення, середній термін і суму доданків.

1. Причина ПА

2. середньостроковий

3. сума термінів

Дізнайтеся більше про арифметична прогресія.

Геометрична прогресія (ПГ)

Геометрична прогресія формується, коли послідовність має коефіцієнт множника, що виникає в результаті ділення двох послідовних доданків, що називається загальним коефіцієнтом, який обчислюється за формулою:

Де,

що є причиною ПГ;
₂ - другий доданок;
₁ це перший термін.

Геометрична прогресія немає терміни можуть бути представлені наступним чином:

Буття ₁ перший член, загальний термін ПГ обчислюється за ₁.q^{(немає-1)}.

Типи PG

Відповідно до значення коефіцієнта (q), ми можемо класифікувати геометричні прогресії на 4 типи:

1. Вирощування: коефіцієнт завжди позитивний (q> 0) і доданки збільшуються;

Приклад: PG: (3, 9, 27, 81, ...), де q = 3.

2. низхідний: коефіцієнт завжди позитивний (q> 0), ненульовий (0), і доданки зменшуються;

Приклад: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), де q = 3

3. коливальний: причина негативна (q

Приклад: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), де q = - 2

4. Постійний: коефіцієнт завжди дорівнює 1 і доданки мають однакове значення.

Приклад: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), де q = 1

Сума термінів PG

Сума доданків геометричної прогресії обчислюється за формулою:

Буття ₁ перший термін, що загальна причина і немає кількість термінів.

Якщо коефіцієнт PG менше 1, тоді для визначення суми доданків будемо використовувати наступну формулу.

Ці формули використовуються для скінченного PG. Якщо запитувана сума - нескінченна PG, використовується формула:

Середній термін ПГ

Для визначення середнього або центрального члена PG з непарною кількістю доданків ми обчислюємо середнє геометричне з першим і останнім доданком (a₁ та_немає):

Розв’язаний приклад

За даними ПГ (1, 3, 9, 27 і 81) визначають коефіцієнт, середній термін і суму доданків.

1. PG причина

2. середньостроковий

3. сума термінів

Дізнайтеся більше про геометрична прогресія.

Короткий зміст формул ПА та ПГ

арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Причина
загальний термін
середньостроковий
кінцева сума
нескінченна сума

Дізнайтеся більше про числові послідовності.

Вправи на ПА та ПГ

питання 1

Який 16-й доданок послідовності, яка починається з числа 3 і має коефіцієнт АТ, рівний 4?

а) 36
б) 52
в) 44
г) 63

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: г) 63.

Оскільки відношення PA постійне, ми можемо знайти другий доданок у послідовності, додавши відношення до першого числа.

₂ =₁ + r

₂ = 3 + 4

₂ = 7

Отже, можна сказати, що ця послідовність утворюється за допомогою (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

16-й доданок можна обчислити за загальною формулою терміну.

_немає =₁ + (n - 1). р

₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

₁₆ = 3 + 15.4

₁₆ = 3 + 60

₁₆ = 63

Тому відповідь на запитання - 63.

питання 2

Яке відношення має шість членів AP, сума яких перших трьох чисел у послідовності дорівнює 12, а останніх двох дорівнює –34?

а) 7
б) - 6
в) - 5
г) 5

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: б) - 6.

Загальною формулою для арифметичної прогресії є₁, (а₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Отже, суму перших трьох доданків можна записати так:

₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3-й₁ + 3r = 12
3-й₁ = 12 - 3р
₁ = (12 - 3р) / 3
₁ = 4 - r

І сума останніх двох доданків:

(The₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2-й₁ + 9r = - 34

Тепер ми замінюємо₁ на 4 - р.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2р + 9р = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Отже, коефіцієнт PG становить - 6.

питання 3

Якщо третій доданок GP дорівнює 28, а четвертий доданок 56, які перші 5 доданків цієї геометричної прогресії?

а) 6, 12, 28, 56, 104
б) 7, 18, 28, 56, 92
в) 5, 9, 28, 56, 119
г) 7, 14, 28, 56, 112

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: г) 7, 14, 28, 56, 112

По-перше, ми повинні розрахувати коефіцієнт цього PG. Для цього ми будемо використовувати формулу:

₄ =₃. що
56 = 28. що
56/28 = q
q = 2

Тепер обчислюємо перші 5 доданків. Ми почнемо з₁ використовуючи формулу загального терміна.

_немає =₁. що^(n-1)
₃ =₁ . що^(3-1)
28 =₁. 2²
₁ = 28/ 4 = 7

Решта доданків можна обчислити, помноживши попередній доданок на відношення.

₂ =₁.q
₂ = 7. 2
₂ = 14

₅ =₄. що
₅ = 56. 2
₅ = 112

Отже, перші 5 термінів PG:

1-й термін: 7
2-й термін: 14
3-й термін: 28
4-й термін: 56
5-й термін: 112

Дивіться також інші вправи, щоб продовжувати займатися:

• Вправи з арифметичної прогресії
• Вправи з геометричної прогресії