Ми знаємо як багаточлен вираз, що вказує на алгебраїчну суму одночленів, які не є подібними, тобто поліном є один алгебраїчний вираз між одночленами. Мономіум - це алгебраїчний термін, що має коефіцієнт і буквальну частину.
Коли між багаточленами є подібні доданки, можна виконати скорочення його термінів на додаток та / або віднімання двох багаточленів. Також можна помножити два поліноми через розподільну властивість. Розподіл виконується методом ключів.
Читайте також: Поліноміальне рівняння - Рівняння, що характеризується тим, що поліном дорівнює 0
Що таке одночлени?
Щоб зрозуміти, що таке поліном, важливо спочатку зрозуміти значення мономія. Алгебраїчний вираз відомий як мономій, коли він є цифри та літери та їх показники розділені лише множенням. Число відоме як коефіцієнт, а букви та їх показники - буквальна частина.
Приклади:
2x² → 2 - коефіцієнт; x² - буквальна частина.
√5ax → √5 - коефіцієнт; ax - це буквальна частина.
b³yz² → 1 - коефіцієнт; b³yz² - буквальна частина.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Що таке поліном?
Поліном - це не що інше, як алгебраїчна сума одночленів, тобто вони є більше одночленами, розділеними додаванням або відніманням один від одного.
Приклади:
ax² + на + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Взагалі кажучи, поліном може мати кілька термінів, він представлений алгебраїчно:
немаєхнемає +(n-1) х(n-1) +… +2x² + a1x + a
Дивіться також: Які класи багаточленів?
ступінь багаточлена
Щоб знайти ступінь багаточлена, розділимо його на два випадки, коли він має одну змінну і коли у нього більше змінних. Ступінь багаточлена задається знаком ступінь найбільшого з його мономів в обох випадках.
Досить поширена робота з поліномом, який має лише одну змінну. Коли це трапляється, О більший мономій ступінь що вказує на ступінь багаточлена дорівнює найбільшому показнику змінної:
Приклади:
Одиничні змінні поліноми
а) 2х2 - 3х3 + 5х - 4 → зауважимо, що змінною є х, а найбільшим показником у неї є 3, отже це поліном 3 ступеня.
б) 2р5 + 4y² - 2y + 8 → змінна дорівнює y, а найбільший показник - 5, отже, це поліном степеня 5.
Коли багаточлен має більше однієї змінної в мономі, щоб знайти ступінь цього доданка, необхідно додати-якщо ступінь показників ступеня кожної зі змінних. Таким чином, ступінь багаточлена, в даному випадку, все ще дорівнює ступеню найбільшого одночлена, але необхідно подбати про додавання показників змінних кожного одночлена.
Приклади:
а) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Аналізуючи буквальну частину кожного терміна, ми маємо:
xy → ступінь 2 (1 + 1)
x²y³ → ступінь 5 (2 + 3)
y³ → 3 клас
Зверніть увагу, що найбільший доданок має ступінь 5, отже, це поліном 5 ступеня.
б) 8a²b - ab + 2a²b²
Аналізуючи буквальну частину кожного мономія:
a²b → ступінь 3 (2 + 1)
ab² → ступінь 2 (1 + 1)
a²b² → клас 4 (2 + 2)
Таким чином, поліном має ступінь 4.
Додавання багаточленів
До додавання між двома многочленами, давайте проведемо скорочення подібних одночленів. Два одночлени подібні, якщо мають рівні буквальні частини. Коли це трапляється, можна спростити поліном.
Приклад:
Нехай P (x) = 2x² + 4x + 3 і Q (x) = 4x² - 2x + 4. Знайдіть значення P (x) + Q (x).
2х2 + 4х + 3 + 4х2 - 2х + 4
Пошук подібних термінів (які мають однакові буквальні частини):
2х² + 4x + 3 + 4х² – 2x + 4
Тепер додамо подібні мономи:
(2 + 4) x² + (4-2) х + 3 + 4
6x² + 2x +7
Віднімання поліномів
Віднімання мало чим відрізняється від додавання. Важливою деталлю є те, що спочатку нам потрібно написати протилежний поліном перш ніж здійснити спрощення подібних термінів.
Приклад:
Дані: P (x) = 2x² + 4x + 3 і Q (x) = 4x² - 2x + 4. Обчисліть P (x) - Q (x).
Поліном -Q (x) протилежний Q (x), щоб знайти протилежність Q (x), просто переверніть знак кожного з його членів, тому ми маємо:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Тоді ми обчислимо:
P (x) + (-Q (x))
2х2 + 4х + 3 - 4х2 + 2х - 4
Спрощуючи подібні терміни, ми маємо:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Множення поліномів
Для виконання множення двох многочленів використовуємо відоме розподільне майно між двома многочленами, виконуючи множення одночленів першого багаточлена на друге.
Приклад:
Нехай P (x) = 2a² + b і Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Обчисліть P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Застосовуючи розподільне майно, ми матимемо:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2-й5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Тепер, якщо вони існують, ми можемо спростити подібні терміни:
2-й5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Зверніть увагу, що єдині подібні одночлени виділені помаранчевим кольором, спрощуючи між собою, у відповідь ми матимемо такий поліном
2-й5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2-й5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Також доступ: Як зробити множення алгебраїчного дробу?
поліноміальний поділ
виконати ділення багаточленів може бути досить трудомістким, ми використовуємо те, що називається метод ключів, але для цього існує кілька методів. Поділ двох багаточленів це можливо, лише якщо градус дільника менший. Поділивши поліном P (x) на поліном D (x), ми шукаємо поліном Q (x), такий, що:
Отже, за алгоритмом ділення маємо: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → дивіденд
D (x) → дільник
Q (x) → фактор
R (x) → залишок
Під час операції ділення багаточлен P (x) ділиться на поліном D (x), якщо залишок дорівнює нулю.
Приклад:
Давайте оперуємо діленням багаточлена P (x) = 15x² + 11x + 2 на багаточлен D (x) = 3x + 1.
Ми хочемо поділитися:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1-й крок: ми розділимо перший мономіум дивіденду з першим діленого:
15x²: 3x = 5x
2-й крок: множимо 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x і віднімаємо результат P (x). Для виконання віднімання необхідно інвертувати знаки результату множення, знаходячи поліном:
3-й крок: виконуємо ділення першого доданка результату віднімання на перший доданок дільника:
6x: 3x = 2
4-й крок: отже, маємо (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Тому ми маємо:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Читайте також: Практичний пристрій Бріо-Руффіні - ділення багаточленів
розв’язані вправи
Питання 1 - Яким має бути значення m, щоб багаточлен P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m мав ступінь 2?
А) 3
Б) -3
В) ± 3
Г) 9
Д) -9
Дозвіл
Альтернатива A
Щоб P (x) мав ступінь 2, коефіцієнт x³ повинен дорівнювати нулю, а коефіцієнт x² повинен відрізнятися від нуля.
Отже, ми зробимо:
м² - 9 = 0
м² = 9
m = ± 9
m = ± 3
З іншого боку, маємо m + 3 ≠ 0.
Отже, m ≠ -3.
Таким чином, ми маємо як розв’язок першого рівняння m = 3 або m = -3, але для другого маємо m ≠ -3, тож єдиним рішенням, завдяки якому P (x) має ступінь 2, є: m = 3.
Питання 2 - (IFMA 2017) Периметр фігури можна записати поліномом:
А) 8x + 5
Б) 8x + 3
В) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Дозвіл
Альтернатива D
З зображення, коли ми аналізуємо задану довжину і ширину, ми знаємо, що периметр - це сума всіх сторін. Оскільки довжина і висота однакові, ми просто помножимо суму даних поліномів на 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
(Enem) Прямокутна тканинна підкладка містить на етикетці інформацію про те, що вона зморщиться після першого прання, зберігаючи форму. На наступному малюнку показано початкові розміри стелі та розмір усадки (x) у довжину та (y) у ширину. Алгебраїчний вираз, який представляє площу стелі після миття, дорівнює (5 - х) (3 - у).
За цих умов втрачена площа підкладки після першого прання буде виражатися:
Враховуючи багаточлени p (x) = 2x³ + 3x² + 1 та q (x) = 3x² + 5x - 15, сума p (-2) + q (2) дорівнює:
