Дослідження про числові множини становить одну з основних областей математики, оскільки вони дуже важливі для теоретичного розвитку області і мають кілька практичних застосувань. Чисельні набори включають у вивчення:
- натуральні числа;
- цілі числа;
- раціональні числа;
- ірраціональні числа;
- дійсні числа; і
- комплексні числа.
читати далі: Прості числа - числа, які мають лише 1 і самі є дільниками
Набір натуральних чисел
Розвиток перших цивілізацій приніс із собою вдосконалення сільського господарства і торгівлі, а отже, і Росії використання чисел для представлення величин. Перший набір з’явився природним шляхом, звідси і його назва. Натуральний іменований набір використовується для представлення величин, він позначається символом символ ℕ і записується у послідовній формі. Подивіться:
О набір чисел naturaє é нескінченний і закритий для операцій доповнення і множення, тобто, коли ми додаємо або множимо два натуральних числа, відповідь все одно залишається природною. Однак для операції віднімання і поділ, набір не закритий. Подивіться:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Зверніть увагу, що цифри –1 і 0,5 вони не належать до набору натуралів, і це є виправданням для створення та вивчення нових наборів чисел.
Крім того, розмістивши зірочку (*) у символі природного набору, ми повинні вилучити нульове число зі списку, див .:
набір цілих чисел
Весь набір номерів придумали потрібно провести операцію віднімання ніяких обмежень. Як ми бачили, коли менше число віднімається від більшого, відповідь не належить до групи натуралів.
Набір цілих чисел також представлений нескінченною числовою послідовністю і позначається символом символ ℤ.
Як і в наборі натуральних чисел, розміщуючи зірочку в символі ℤ, елемент нуля вилучається з набору, наприклад:
Символ (-), що супроводжує число, вказує на те, що воно симетричне, тож симетричним числу 4 є число –4. Також зверніть увагу, що набір натуральних чисел міститься у наборі цілих чисел, тобто набір натуральних чисел є підмножиною набору цілих чисел.
ℕ ⸦ ℤ
Читайте також: Операції з цілими числами - що це і як обчислити?
набір раціональних чисел
О набір раціональних чисел é представлений символом ℚ і не представлений числовою послідовністю. Цей набір складається з усіх чисел, які можна представити у вигляді дробу. Представляємо його елементи наступним чином:
Ми знаємо, що кожне ціле число може бути представлене символом дріб, тобто набір цілих чисел міститься в наборі раціональних чисел, отже, набір цілих чисел є підмножиною обгрунтування.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Числа, що мають нескінченне представлення, такі як періодична десятина, також мають подання у вигляді дробу, отже, вони також раціональні.
Читайте також: Операції з дробами - поетапно, як їх вирішити
Набір ірраціональних чисел
Як ми бачили, число є раціональним, якщо його можна записати як дріб. Також було сказано, що нескінченні та періодичні числа раціональні, проте існують деякі числа не може бути записана у вигляді дробу і які, отже, не належать до множини раціональних чисел.
Ці нераціональні числа називаються ірраціональний і мають в якості основних характеристик нескінченність десяткової частини і нечастота, тобто жодне число в десятковій частині не повторюється. Див. Кілька прикладів ірраціональні числа.
- Приклад 1
Квадратні корені чисел, які не є ідеальними квадратами.
- Приклад 2
Константи, що походять з особливих причин, таких як число золота, число Ейлера або Pi.
Набір дійсних чисел
О набір дійсних чисел представлений символом ℝ і утворений символом єдністьмножини раціональних чисел із множиною ірраціональних чисел. Пам’ятайте, що набір обґрунтувань є об’єднанням натуральних та цілих наборів.
Коли ми розташовуємо дійсні числа на прямій, ми маємо, що число нуль є початком прямої, праворуч від нуля будуть позитивні числа, а ліворуч від’ємні числа.
Оскільки ця вісь реальна, ми можемо сказати, що між двома числами є нескінченні числа, а також що ця вісь нескінченна як у позитивний напрямок коли в негативний напрямок.
Набір комплексних чисел
О набір комплексних чисел це останній і воно виникло з тієї самої причини, що і набір цілих чисел, тобто це операція, розробка якої лише з набором реалів неможлива.
Вирішуючи наступне рівняння, переконайтеся, що воно не має рішення, знаючи лише дійсні числа.
х2 + 1 = 0
х2 = –1
Зверніть увагу, що ми повинні знайти число, яке коли піднятиdО в квадраті, результатом є від’ємне число. Ми це знаємо будь-яке число в квадраті завжди додатнетому цей розрахунок не має реального рішення.
Таким чином були створені комплексні числа, в яких ми маємо a уявне число позначається i, що має таке значення:
Отже, усвідомлюйте, що рівняння що раніше не мало рішення, тепер воно є. Перевіряти:
читати далі: Властивості, що включають комплексні числа
фактичні інтервали
У деяких випадках ми не будемо використовувати кожну реальну вісь, тобто використовуватимемо її частини, які будуть викликані перерви. Ці інтервали є підмножини множини дійсних чисел. Далі ми встановимо деякі позначення для цих підмножин.
Закритий діапазон - без урахування крайнощів
Інтервал закритий, коли він має свої дві крайності, тобто мінімум і максимум, і, в даному випадку, крайнощі не належать до асортименту. Ми позначимо це за допомогою відкритої кулі. Подивіться:
Червоним кольором вказані цифри, які належать до цього діапазону, тобто це цифри більше a і менше b. Алгебраїчно пишемо такий інтервал таким чином:
< х
Де число x - це всі дійсні числа, що знаходяться в цьому діапазоні. Ми можемо також зобразити це символічно. Подивіться:
] The; B [ або (The; Б)
Закритий діапазон - включаючи крайнощі
Тепер давайте використаємо закриті кульки, щоб це зобразити крайнощі належать до діапазону.
Отже, ми збираємо реальні числа, які знаходяться між a та b, включаючи їх. Алгебраїчно ми виражаємо такий інтервал:
значення ≤ хb
Використовуючи символічні позначення, ми маємо:
[The; B]
Закритий діапазон - включаючи одну з крайнощів
Досі маючи справу із закритими інтервалами, ми маємо випадок де включена лише одна з крайнощів. Отже, одна з кульок закриється, вказуючи, що число належить діапазону, а інша ні, вказуючи, що число не належить цьому діапазону.
Алгебраїчно ми представляємо цей діапазон таким чином:
значення ≤ х
Символічно ми маємо:
[The; B [ або [The; Б)
Відкритий діапазон - кінець не включений
Діапазон відкривається, коли не має максимального або мінімального елемента. Тепер ми побачимо випадки відкритого діапазону, який має лише максимальний елемент, який не входить в діапазон.
Дивіться, що асортимент складається з дійсних чисел меншеB, а також зауважте, що число b, що не належить діапазону (відкрита куля), тому, алгебраїчно, ми можемо представити інтервал:
х
Символічно ми можемо представити це за допомогою:
] – ∞; B [ або (– ∞; Б)
Відкритий діапазон - включаючи екстремальний
Іншим прикладом відкритого діапазону є випадок, коли включається крайність. Тут ми маємо діапазон, в якому відображається мінімальний елемент, див .:
Зверніть увагу, що всі дійсні числа більші або дорівнюють числу а, тому ми можемо записати цей діапазон алгебраїчно за допомогою:
хдо
Символічно ми маємо:
[The; +∞[ або [The; +∞)
відкритий діапазон
Інший випадок відкритої зони утворений числа, більші та менші за числа, зафіксовані на дійсній прямій. Подивіться:
Зверніть увагу, що дійсними числами, які належать до цього діапазону, є числа, менші чи рівні числу а, або ті, що більші за число b, тому ми повинні:
х до абох > b
Символічно ми маємо:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
або
(– ∞; a] U (b; + ∞)
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm