THE факторизація алгебраїчного виразу складається із написання алгебраїчного виразу в форма товару. У практичних випадках, тобто при вирішенні деяких проблем, що пов'язані алгебраїчні виразирозкладання на множники надзвичайно корисно, оскільки в більшості ситуацій це спрощує опрацьований вираз.
Для виконання факторизації алгебраїчних виразів ми будемо використовувати дуже важливий результат з математики, який називається фундаментальна теорема арифметики, де зазначено, що будь-яке ціле число більше 1 може бути записано як добуток прості числа, Дивіться:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Ми просто розклали числа 121 і 60.
Читайте теж: Розкладання числа на прості множники
Методи факторизації алгебраїчних виразів
Зараз ми побачимо основні методи розкладання на факторизацію, найбільш використовувані ми зробимо коротке геометричне обґрунтування. Подивіться:
Факторинг доказів
Розглянемо прямокутник:
Зверніть увагу, що прямокутник синій плюс площа зеленого прямокутника призводить до збільшення прямокутника. Давайте розглянемо кожну з цих сфер:
THEСИНІЙ = b · x
THEЗЕЛЕНИЙ = b · y
THEВІЛЬШИЙ = b · (x + y)
Отже, ми маємо:
THEВІЛЬШИЙ = AСИНІЙ + АЗЕЛЕНИЙ
b (x + y) = bx + by
Приклади
The) Щоб врахувати вираз: 12x + 24y.
Зверніть увагу, що 12 є фактором доказу, оскільки він присутній в обох посилках, тому для визначення цифр, що входять у дужки, досить поділитися кожна посилка за фактором доказу.
12x: 12 = х
24 року: 12 = 2р
12x + 24y = 12 · (х + 2р)
Б) До факторичного виразу 21ab2 - 70-й2Б.
Таким же чином спочатку визначається фактор доказування, тобто фактор, який повторюється в посилках. Подивіться, що з числової частини ми маємо 7 як загальний фактор, оскільки саме він ділить обидва числа. Щодо буквальної частини, то переконайтеся, що повторюється лише фактор ab, отже, фактором доказу є: 7ab.
21ab2 - 70-й2b = 7ab (3b - 10)
Читайте теж: Поліноміальне ділення: як це зробити?
Факторинг за групуванням
Розкладання на факторизації шляхом групування є що виникають внаслідок факторингу шляхом доказів, єдина різниця полягає в тому, що замість того, щоб мономій був загальним фактором чи фактором доказу, ми матимемо поліном, дивіться приклад:
Розглянемо вираз (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Зверніть увагу, що загальним фактором є біном (a + b),отже, факторизованою формою попереднього виразу є:
(a + b) · (Xy + wz2)
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
різниця між двома квадратами
Розглянемо два числа a і b, коли ми маємо a різниця квадрата цих чисел, тобто2 - Б2, тому ми можемо записати їх як добуток суми на різницю, тобто:
2 - Б2 = (a + b) · (a - b)
Приклади
The) Розкласти на множник вираз x2 - y2.
Ми можемо використовувати різницю між двома квадратами, отже:
х2 - y2 = (x + y) · (x - y)
Б) До фактору 20202 – 2.0192.
Ми можемо використовувати різницю між двома квадратами, отже:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Тричлен ідеального квадрата
Візьміть наступний квадрат збоку (a + b) і відзначте площі квадратів і прямокутників, що утворилися всередині нього.
Подивіться район площа більший задається (a + b)2, але, з іншого боку, площу найбільшого квадрата можна отримати, додавши квадрати та прямокутники всередині нього, наприклад:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2б + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Аналогічним чином ми маємо:
(а - б)2 =2 - 2ab + b2
Приклад
Розглянемо вираз х2 + 12x + 36.
Щоб врахувати вираз цього типу, просто визначте коефіцієнт змінної х та незалежний коефіцієнт і порівняйте з наведеною формулою, див .:
х2 + 12x + 36
2 + 2ab + b2
Зробивши порівняння, подивіться, що x = a, 2b = 12 і b2 = 36; рівності, маємо b = 6, тож множний вираз має вигляд:
х2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Тринома середньої школи
Розглянемо сокиру тричлена2 + bx + c. Його факторизовану форму можна знайти за допомогою своє коріння, тобто значення x, що обнуляють цей вираз. Щоб визначити значення, які роблять цей вираз нульовим, просто вирішіть ось рівняння2 + bx + c = 0, використовуючи будь-який зручний метод. Тут ми виділимо найвідоміший метод: Метод Баскари.
Розкладена на множини форма сокири тричлена2 + bx + c:
сокира2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Приклад
Розглянемо вираз х2 + х - 20.
Першим кроком є визначення коренів x рівняння.2 + x - 20 = 0.
Отже, множник у формі виразу х2 + x - 20 дорівнює:
(х - 4) · (х + 5)
Куб різниці між двома числами
Куб різниці між двома числами a і b визначається як:
(а - б)3 = (а - б) · (а - б)2
(а - б)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Куб суми двох чисел
Аналогічно, маємо, що (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , незабаром:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
розв’язані вправи
питання 1 - (Cefet-MG) Де число n = 6842 – 6832, сума цифр n дорівнює:
а) 14
б) 15
в) 16
г) 17
д) 18
Дозвіл
Альтернатива d. Щоб визначити суму цифр n, спочатку ми враховуємо вираз, оскільки обчислення квадратів, а потім віднімання є непотрібною роботою. Факторизуючи вираз, використовуючи різницю між двома квадратами, маємо:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1367 · 1
n = 1367
Отже, сума цифр n задається 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Питання 2 - (Modified Insper-SP) Визначте значення виразу:
Дозвіл
Щоб полегшити позначення, назвемо a = 2009 та b = 2. пам’ятайте, що 22 = 4, тому ми маємо:
Зверніть увагу, що в чисельнику дробу ми маємо різницю між двома квадратами, тому ми можемо записати2 - Б2 = (a + b) (a - b). Незабаром:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
Робсон Луїс
Вчитель математики
