Karmaşık sayılar bir gerçek ve bir sanal kısımdan oluşan sayılar.
Elemanları gerçek sayılar (R) kümesine ait olan tüm sıralı çiftler (x, y) kümesini temsil ederler.
Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir Ç ve işlemler tarafından tanımlanır:
- eşitlik: (a, b) = (c, d) ↔ a = c ve b = d
- İlave: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Çarpma işlemi: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Hayali Birim (i)
Mektupta belirtilen ben, hayali birim sıralı çifttir (0, 1). Yakında:
ben. ben = -1 ↔ ben2 = –1
Böylece, ben -1'in karekökü.
Z'nin Cebirsel Formu
Z'nin cebirsel formu, aşağıdaki formül kullanılarak karmaşık bir sayıyı temsil etmek için kullanılır:
Z = x + yi
Nerede:
- x x = Re (Z) ile gösterilen, çağrılan gerçek bir sayıdır z'nin gerçek kısmı.
- y olarak adlandırılan, y = Im(Z) ile gösterilen gerçek bir sayıdır Z'nin sanal kısmı.
Karmaşık Sayı Eşleniği
Karmaşık bir sayının eşleniği ile gösterilir z, tarafından tanımlanan z = a - bi. Böylece hayali kısmının işareti değiştirilir.
Yani z = a + bi ise, o zaman z = a - bi
Karmaşık bir sayıyı eşleniğiyle çarptığımızda sonuç gerçek bir sayı olacaktır.
Karmaşık Sayılar Arasındaki Eşitlik
İki karmaşık sayı olmak Z1 = (a, b) ve Z2 = (c, d), a = c ve b = d olduğunda eşittirler. Bunun nedeni, aynı gerçek ve hayali parçalara sahip olmalarıdır. Böylece:
a + bi = c + di Ne zaman a = c ve b = d
Karmaşık Sayılarla İşlemler
Karmaşık sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapmak mümkündür. Aşağıdaki tanımlara ve örneklere göz atın:
İlave
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
Cebirsel formda, elimizde:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + ben (b + d)
Misal:
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + ben (3 + 5)
–2 + 8i
Çıkarma
Z1 -Z2 = (a - c, b - d)
Cebirsel formda, elimizde:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + ben (b - d)
Misal:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4 – 2) + ben (–5 –1)
2 - 6i
Çarpma işlemi
(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Cebirsel formda, dağılma özelliğini kullanırız:
(a+bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (ben2 = –1)
(a+bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a+bi). (c + di) = (ac - bd) + ben (ad + bc)
Misal:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 - 14i + 15
23 – 14i
Bölünme
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
Yukarıdaki eşitlikte, eğer Z3 = x + yi, elimizde:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + ben (cy + dx)
x ve y bilinmeyenler sistemine göre:
cx - dy = bir
dx + cy = b
Yakında,
x = ac + bd/c2 + gün2
y = bc - reklam/c2 + gün2
Misal:
2 - 5i/i
2 – 5i/. (– i)/ (– i)
-2i +5i2/–i2
5 – 2i
Geri Bildirimli Giriş Sınavı Alıştırmaları
1. (UF-TO) düşünün ben karmaşık sayıların hayali birimi. (i + 1) ifadesinin değeri8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
Alternatif c: 16
2. (UEL-PR) iz – 2w (1 + i) = 0 denklemini kontrol eden karmaşık z sayısı (w z)'nin eşleniğini gösterir:
a) z = 1 + ben
b) z = (1/3) - ben
c) z = (1 - i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 - ben
Alternatif e: z = 1 - ben
3. (Vunesp-SP) z = cos π/6 + i sin π/6 karmaşık sayısını düşünün. z'nin değeri3 + Z6 + Z12 é:
Orada
b) ½ +√3/2i
c) ben – 2
d) ben
e) 2i
alternatif d: ben
Yorumlu çözünürlükte daha fazla soruya göz atın: Karmaşık Sayılar Üzerine Alıştırmalar.
video dersleri
Karmaşık sayılar hakkındaki bilginizi genişletmek için videoyu izleyin "Karmaşık Sayılara Giriş"
Karmaşık sayıların tarihi
Karmaşık sayıların keşfi, matematikçi Girolamo Cardano'nun (1501-1576) katkıları sayesinde 16. yüzyılda yapıldı.
Ancak, bu çalışmaların matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından resmileştirilmesi 18. yüzyıla kadar değildi.
Negatif bir sayının karekökü olduğundan, karmaşık sayıların keşfine kadar imkansız olduğu düşünülen bu, matematikte ileriye doğru büyük bir adımdı.
Daha fazla bilgi edinmek için ayrıca bkz.
- sayısal kümeler
- polinomlar
- irrasyonel sayılar
- 1. Derece Denklem
- Güçlendirme ve Radyasyon
