Permütasyon, sonlu bir kümenin elemanlarını sıralamak için kaç yol olduğunu belirlemek için kullanılan bir sayma tekniğidir. Mübadele yapmak, mübadele yapmaktır ve kombinatorik problemlerde yerin öğelerinin sırasını dikkate alarak değiş tokuş yapmak demektir.
Bu teknikler, kümeleri ve öğelerini organize etmenin farklı yollarını bilmeyi ve saymayı amaçlayan Kombinatoryal Analiz adı verilen bir Matematik alanının parçasıdır. Basit permütasyon ve tekrarlı elemanlarla a bu problem kategorisini ele alır.
basit permütasyon
Basit bir permütasyon, sonlu bir kümenin elemanlarının sıralanmasıdır. elemanlar tekrar etmez, belirgindir. Bu türlerin miktarını belirlemek için kullanılır.
Tutar n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının sayısı n'ye eşittir! (n faktöriyel okur).
Basit permütasyonların sayısını belirleme formülü:
n elemanlı bir küme düşünün. Onları bir sıraya dizmek için ilkini seçmemiz gerekiyor ve bunun için n tane imkanımız var. İkincisini seçmek için (n-1) olasılığımız var, bir eksiği var, çünkü birinciyi seçerken zaten bir seçenek kullandık. Bu işlem tek bir eleman kalana kadar devam eder.
Toplam permütasyon sayısını belirlemek için, her bir elemanı seçerken var olan olasılıkların sayısını çarpıyoruz. Böylece:
Yukarıdaki ifadeye n'nin faktöriyeli denir ve sembolünü kullanırız. Hayır!.
hakkında daha fazla öğren faktöriyel burada.
Misal:
Bir kelimenin harflerini düzenlemenin farklı yollarına anagram denir. DUCK kelimesinin toplam kaç tane anagramı vardır?
Bunlar olasılıklar:
PATO kelimesi 4 harfli olduğundan,
Yani DUCK kelimesi için 24 basit permütasyon var.
Basit Permütasyon Alıştırmaları
soru 1
değerini hesapla .
soru 2
Herhangi bir zamanda altı kişinin olduğu, ilk gelenin önce hizmet verdiği bir insan kuyruğunu düşünün. Bu insanlar ilkten sonuncuya kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Her bir sıralama formu basit bir permütasyondur, çünkü bireyler benzersizdir ve kendilerini tekrar etmezler. Yani, altı kişiyle cevap, 6 elemanlı bir permütasyondur.
Soru 3
ÇATAL kelimesini düşünün ve aşağıdaki soruları cevaplayın?
a) ÇATAL kelimesinin anagramları kaçtır?
Harfler tekrarlanmadığı için bu basit bir 5 elemanlı permütasyon durumudur.
b) A harfi ile başlayan kaç anagram vardır?
Bu durumda başında A harfini sabitliyoruz ve 4 elementin permütasyonu olan GRFO harfleri ile permütasyonları hesaplıyoruz.
A x harfi için 1 olasılık .
c) Ünlüler her zaman yan yanaysa kaç anagram vardır?
Bir olasılık G R F A O olabilir.
Ünsüzleri sıralamanın üç yolu vardır. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Ünlüleri sıralamanın iki yolu vardır. P2 = 2 x 1 = 2
Grupları (ünsüzler ve ünlüler) kendi aralarında düzenlemenin iki yolu daha var. P2 = 2 x 1 = 2
Şimdi sadece sonuçları çarpın.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Yani sesli harflerin her zaman bir arada olduğu 24 anagram var.
tekrarlı permütasyon
Tekrarlanan elemanlarla bir permütasyon, bir dizi n elemanda, bazıları eşit olduğunda gerçekleşir.
Tekrarlı permütasyon sayısını belirleme formülünde, toplam n eleman sayısının faktöriyelini tekrar eden elemanların faktöriyellerinin çarpımına böleriz.
n elemanın permütasyon sayısıdır.
her bir türün tekrarlanan öğelerinin sayısıdır.
n'nin toplam eleman sayısının faktöriyelidir.
Örnekler
YUMURTA kelimesi için kaç tane permütasyon olduğunu belirleyelim. Daha kolay hale getirmek için harfleri renklendirelim. YUMURTA kelimesinin anagramlarına bakalım.
3 elemanlı basit permütasyon sayısı şu şekilde verilir:
Ancak bazı permütasyonlar tekrarlanır ve onları iki kez sayamayız. Bunun için değerini bölmeliyiz (çünkü kelimenin üç harfi vardır),
(çünkü O harfi iki kez tekrarlanır).
Böylece, OVO kelimesinin harfleri için permütasyon sayısı 3'e eşittir.
BANANA kelimesinin harfleri için permütasyon sayısını tanımlayacağımız diğer örneğe bakalım.
Nerede:
A ve N harflerinin tekrarlandığı 6 elemanlı permütasyon anlamına gelir.
3! çünkü A harfi kendini üç kez tekrar eder.
2! N harfi için iki kez tekrarlanır.
Hesaplamayı kolaylaştırmak için bir ipucu 6'yı geliştirmektir! payda ile sadeleştirerek 3'e ulaşana kadar! Gelişmeye bakın.
Böylece BANANA kelimesindeki harflerin permütasyon sayısı 60'a eşittir.
Kombinatoryal Analiz ile ilgili şu içerikler ilginizi çekebilir:
Kombinatoryal Analiz
Kombinatoryal Analiz Üzerine Alıştırmalar
