İki nokta arasındaki uzaklık, onları birleştiren doğru parçasının ölçüsüdür.
Bu ölçüyü Analitik Geometri kullanarak hesaplayabiliriz.
Uçakta iki nokta arasındaki mesafe
Düzlemde, bir nokta, kendisiyle ilişkili sıralı bir (x, y) çifti bilinerek tam olarak belirlenir.
İki nokta arasındaki mesafeyi bilmek için önce onları Kartezyen düzlemde temsil edeceğiz ve sonra bu mesafeyi hesaplayacağız.
Örnekler:
1) A (1.1) noktası ile B (3.1) noktası arasındaki mesafe nedir?
d(A, B) = 3 - 1 = 2
2) A (4.1) noktası ile B (1,3) noktası arasındaki mesafe nedir?
A noktası ile B noktası arasındaki uzaklığın, 2 ve 3 numaralı dik üçgenin hipotenüsüne eşit olduğuna dikkat edin.
Yani, kullanacağız Pisagor teoremi Verilen noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamak için.
[d(A, B)]2 = 32 + 22 = √13
Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe formülü
Uzaklık formülünü bulmak için örnek 2'de yapılan hesaplamayı genelleyebiliriz.
A(x) gibi herhangi iki nokta için1yy1) ve B (x2y2), sahibiz:
Daha fazlasını öğrenmek için şunu da okuyun:
- uçak geometrisi
- Kartezyen Planı
- Düz
Uzayda iki nokta arasındaki uzaklık
Uzaydaki noktaları temsil etmek için üç boyutlu bir koordinat sistemi kullanıyoruz.
Bir nokta, kendisiyle ilişkili sıralı bir üçlü (x, y, z) olduğunda, uzayda tam olarak belirlenir.
Uzayda iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle onları koordinat sisteminde gösterebiliriz ve oradan hesaplamaları yaparız.
Misal:
A noktası (3,1.0) ile B noktası (1,2.0) arasındaki mesafe nedir?
Bu örnekte, A ve B noktalarının xy düzlemine ait olduğunu görüyoruz.
Mesafe şu şekilde verilecektir:
[d(A, B)]2 = 12 + 22 = √5
Uzayda iki nokta arasındaki uzaklığın formülü
Daha fazlasını öğrenmek için şunu da okuyun:
- Mekansal Geometri
- Doğru Denklemi
- Matematik Formülleri
Çözülmüş Alıştırmalar
1) A noktası apsis eksenine (x ekseni) aittir ve B (3.2) ve C (-3.4) noktalarından eşit uzaklıktadır. A noktasının koordinatları nelerdir?
A noktası apsis eksenine ait olduğuna göre koordinatı (a, 0) olur. O halde a'nın değerini bulmalıyız.
(0 - 3)2 + (- - 2)2 = (0 + 3)2 + (-4'e kadar)2
9 + için2 - 4a +4 = 9 + bir2 - 8. + 16.
4. = 12
bir = 3
(3.0) A noktasının koordinatlarıdır.
2) A (3,a) noktasından B (0,2) noktasına olan uzaklık 3'e eşittir. Ordinat değerini hesaplayın a.
32 = (0 - 3)2 + (2 - bir)2
9 = 9 + 4 - 4a +a2
2 - 4. +4 = 0
bir = 2
3) ENEM - 2013
Son yıllarda televizyon, görüntü kalitesi, ses ve izleyiciyle etkileşim açısından gerçek bir devrim geçirdi. Bu dönüşüm, analog sinyalin dijital sinyale dönüştürülmesinden kaynaklanmaktadır. Ancak, birçok şehir hala bu yeni teknolojiye sahip değil. Bu faydaları üç şehre getirmek isteyen bir televizyon istasyonu, bu şehirlerde halihazırda bulunan A, B ve C antenlerine sinyal gönderen yeni bir iletim kulesi inşa etmeyi planlıyor. Antenlerin konumları Kartezyen düzlemde temsil edilir:
Kule, üç antenden eşit uzaklıkta bir yere yerleştirilmelidir. Bu kulenin inşası için uygun yer, koordinat noktasına karşılık gelir.
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Doğru alternatif e: (50;30)
Ayrıca bakınız: iki nokta arasındaki mesafe çalışmaları
4) ENEM - 2011
Bir şehrin mahallesi, aynı büyüklükte blokları sınırlayan paralel ve dik sokaklarla düz bir bölgede planlandı. Aşağıdaki Kartezyen koordinat düzleminde, bu komşuluk ikinci kadranda yer alır ve uzaklıklar
eksenler kilometre olarak verilmiştir.
y=x+4 denkleminin düz çizgisi şehrin mahalle ve diğer bölgelerinden geçecek olan yeraltı metro hattının güzergahının planlanmasını temsil etmektedir.
P = (-5.5) noktasında bir devlet hastanesi bulunmaktadır. Topluluk, planlama komitesinden bir metro istasyonu planlamasını istedi, böylece düz bir çizgide ölçülen hastaneye olan mesafesi 5 km'den fazla olmayacaktı.
Topluluğun talebine yanıt olarak, komite, noktada bir istasyonun inşası önceden öngörüldüğünden, bunun otomatik olarak karşılanacağını doğru bir şekilde savundu.
a) (-5.0)
b) (-3.1)
c) (-2.1)
d) (0.4)
e) (2.6)
Doğru alternatif b: (-3.1).
Ayrıca bakınız: analitik geometri alıştırmaları
