Analitik Geometri, bir düzlem veya uzayda bir koordinat sistemindeki geometrik öğeleri inceler. Bu geometrik nesneler, bu yönlendirme sisteminin noktalarına ve eksenlerine göre konumlarına ve konumlarına göre belirlenir.
Mısırlılar ve Romalılar gibi eski halklardan beri, koordinatlar fikri tarihte zaten ortaya çıktı. Ancak 17. yüzyılda René Descartes ve Pierre de Fermat'ın çalışmalarıyla bu Matematik alanı sistematize edildi.
Kartezyen ortogonal sistem
Ortogonal Kartezyen Sistem, koordinatları bulmak için bir referans tabanıdır. Bir düzlemde birbirine dik iki eksenden oluşur.
- Bu sistemin O(0,0) orijini bu eksenlerin kesişimidir.
- X ekseni apsistir.
- y ekseni ordinattır.
- Dört kadran saat yönünün tersi yöndedir.
sıralı çift
Düzlemdeki herhangi bir nokta P(x, y) koordinatına sahiptir.
x, P noktasının apsisidir ve x ekseni üzerindeki ortogonal izdüşümünden orijine olan uzaklığı oluşturur.
y, P noktasının koordinatıdır ve y eksenindeki ortogonal izdüşümünden orijine olan uzaklıktır.
iki nokta arasındaki mesafe
Kartezyen düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.
İki nokta formülü arasındaki mesafe ve
herhangi.
orta nokta koordinatları
Orta nokta, bir doğru parçasını iki eşit parçaya bölen noktadır.
Olmak bir segmentin orta noktası
, koordinatları apsis ve ordinatın aritmetik ortalamalarıdır.
ve
Üç noktalı hizalama koşulu
Puanlar göz önüne alındığında: .
Aşağıdaki matrisin determinantı sıfıra eşitse bu üç nokta hizalanacaktır.
Örnek
Bir çizginin açısal katsayısı
eğim düz bir çizginin eğiminin tanjantıdır
x eksenine göre.
Eğimi iki noktadan elde etmek için:
m > 0 ise çizgi yükseliyor, aksi halde m < 0 ise çizgi azalıyor.
çizginin genel denklemi
Nereye NS,B ve C sabit reel sayılardır ve NS ve B aynı anda boş değiller.
Örnek
Bir noktayı ve eğimi bilen doğru denklemi
bir puan verildi ve eğim
.
Çizginin denklemi şöyle olacaktır:
Örnek
Düz denklemin indirgenmiş formu
Nereye:
m eğimdir;
n lineer katsayıdır.
numara doğrunun y eksenini kestiği yerde sıralanır.
Örnek
Bakmak Doğru Denklemi.
Bir düzlemde iki paralel doğru arasındaki göreli konum
Eğimleri eşit olduğunda iki farklı doğru paraleldir.
eğer düz r eğimi var , ve düz s eğimi var
, bunlar şu durumlarda paraleldir:
Bunun için eğilimlerinizin eşit olması gerekir.
Açılar eşit olduğunda teğetler eşittir.
Bir düzlemde birbiriyle yarışan iki düz çizgi arasındaki göreli konum
Eğimleri farklı olduğunda iki çizgi eşzamanlıdır.
Buna karşılık, x eksenine göre eğim açıları farklı olduğunda, eğimler de farklılık gösterir.
Dikey çizgiler
Eğimlerinin çarpımı -1'e eşit olduğunda iki kalan diktir.
iki düz r ve s, eğimli, belirgin ve
, diktir, ancak ve ancak:
veya
İki doğrunun birbirine dik olup olmadığını anlamanın bir başka yolu da onların genel biçimindeki denklemleridir.
r ve s doğrularının denklemleri:
Aşağıdaki durumlarda ona dik iki çizgi:
Bakmak Dikey çizgiler.
çevre
Çevre, tüm P(x, y) noktalarının aynı uzaklıkta olduğu düzlemde geometrik konumdur. r C(a, b) merkezinden r yarıçaplı olmanın ölçüsüdür.
İndirgenmiş formda çevre denklemi
Nereye:
r yarıçap, yayınınız üzerindeki herhangi bir nokta ile merkez arasındaki mesafedir. C.
NS ve B merkezin koordinatları C.
çemberin genel denklemi
Çevrenin indirgenmiş denkleminin kare terimlerinin geliştirilmesiyle elde edilir.
Normal form olarak da bilinen çevre denkleminin genel formunu alıştırmalarda göstermek çok yaygındır.
konik
Konik kelimesi bir koniden gelir ve onu keserek elde edilen eğrileri ifade eder. Elips, hiperbol ve parabol konik denilen eğrilerdir.
Elips
Elips, düz dairesel bir koninin, tepe noktasından geçmeyen ve ana hatlarına paralel olmayan eksene eğik bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kapalı bir eğridir.
Bir düzlemde, iki dahili sabit noktaya olan uzaklıkları toplamı sabit olan tüm noktaların kümesi.
Elips elemanları:
- F1 ve F2, elipsin odaklarıdır;
- 2c, elipsin odak uzaklığıdır. F1 ve F2 arasındaki mesafedir;
- Nokta Ö elipsin merkezidir. F1 ve F2 arasındaki orta noktadır;
- A1 ve A2, elipsin köşeleridir;
- segment
ana eksen ve 2a'ya eşittir.
- segment
küçük eksen 2b'ye eşittir.
- eksantriklik
nerede 0 < ve < 1.
İndirgenmiş Elips Denklemi
x'in apsis olduğu ve y'nin bu noktanın koordinatı olduğu elipste bulunan bir P(x, y) noktası düşünün.
Koordinat sisteminin orijinindeki elipsin merkezi ve x eksenindeki ana eksen (AA).
Koordinat sisteminin orijinindeki elipsin merkezi ve y eksenindeki ana eksen (AA).
Koordinat eksenlerine paralel eksenlerle elipsin indirgenmiş denklemi
bir noktayı göz önünde bulundurarak Kartezyen sistemin kökeni ve bir nokta olarak
elipsin merkezi olarak
AA ana ekseni, x eksenine paralel.
AA ana ekseni, y eksenine paralel.
abartma
Hiperbol, iki sabit nokta F1 ve F2 arasındaki farkın sabit, pozitif bir değerle sonuçlandığı bir düzlem üzerinde bir noktalar kümesidir.
Abartma unsurları:
- F1 ve F2 hiperbolün odaklarıdır.
- 2c =
odak uzaklığıdır.
- Hiperbolün merkezi noktadır Ö, F1F2 segment ortalaması.
- A1 ve A2 köşelerdir.
- 2a = A1A2, gerçek veya enine eksendir.
- 2b = B1B2, hayali veya eşlenik eksendir.
-
eksantrikliktir.
B1OA2 üçgeni boyunca
Hiperbol indirgenmiş denklem
Gerçek eksen x ekseni etrafında ve merkez orijinde.
Gerçek eksen y ekseninde ve merkez orijinde.
Koordinat eksenlerine paralel eksenli hiperbol denklemi
AA gerçek ekseni x eksenine ve merkeze paralel .
Gerçek eksen AA, y eksenine ve merkeze paralel .
benzetme
Parabol, P(x, y) noktaları kümesinin sabit bir F noktasından ve bir d doğrusundan aynı uzaklıkta olduğu yerin geometrik yeridir.
Meselin unsurları:
- F benzetmenin odak noktasıdır;
- d düz kılavuzdur;
- Simetri ekseni, F odak noktasından geçen ve kılavuza dik olan düz çizgidir.
- V, parabolün tepe noktasıdır.
- p, odak F ve tepe noktası V e arasında, tepe noktası ve d yönergesi arasındaki aynı uzunluktaki segmenttir.
Parabolün indirgenmiş denklemleri
Köşe orijinde ve simetri ekseni y ekseninde.
p>0 ise içbükeylik yukarı doğrudur.
p<0 ise aşağı doğru içbükeylik.
Köşe orijinde ve simetri ekseni x ekseninde.
Sağda p>0 içbükeylik ise.
p<0 konkavlık sola doğru ise.
Simetri ekseni y eksenine ve tepe noktasına paralel .
x eksenine ve tepe noktasına paralel simetri ekseni ile .
ile pratik yapmak Analitik Geometri Üzerine Alıştırmalar.
Daha fazla bilgi edinin:
Kartezyen Planı
iki nokta arasındaki mesafe
konik
Açısal Katsayının Hesaplanması
