Pisagor Teoremi: formül ve alıştırmalar

Ö Pisagor teoremi dik üçgenin kenar uzunluklarını listeler. Bu geometrik şekil, dik açı adı verilen 90°'lik bir iç açı ile oluşturulmuştur.

Bu teoremin ifadesi:

"Bacaklarınızın karelerinin toplamı hipotenüsünüzün karesine karşılık gelir.."

Pisagor teoremi formülü

Pisagor Teoreminin ifadesine göre, formül şu şekilde temsil edilir:

² = b² + c²

Olmak,

: hipotenüs
B: kateto
ç: kateto

bu hipotenüs bir dik üçgenin en uzun kenarı ve dik açının karşısındaki kenardır. Diğer iki taraf bacaklardır. Bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü 90º'dir (dik açı).

Bacakları da referans açısına göre belirledik. Yani taraf, bitişik taraf veya karşı taraf olarak adlandırılabilir.

Bacak referans açısına yakın olduğunda buna denir. bitişik, diğer taraftan, bu açıya karşı ise denir. karşısında.

Aşağıda, bir dik üçgenin metrik ilişkilerine Pisagor teoreminin uygulamalarının üç örneği verilmiştir.

örnek 1: hipotenüsün ölçüsünü hesapla

Bir dik üçgenin ayak ölçüleri 3 cm ve 4 cm ise, bu üçgenin hipotenüsü nedir?

Bu nedenle, dik üçgenin kenarları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir.

Örnek 2: bacaklardan birinin ölçüsünü hesaplayın

Bir dik üçgenin parçası olan hipotenüsü 20 cm ve diğer ayağı 16 cm olan bir bacağın ölçüsünü belirleyin.

Bu nedenle dik üçgenin kenar ölçüleri 12 cm, 16 cm ve 20 cm'dir.

Örnek 3: üçgenin dikdörtgen olup olmadığını kontrol edin

Bir üçgenin kenarları 5 cm, 12 cm ve 13 cm ölçülerindedir. Bir dik üçgen olup olmadığını nasıl anlarsınız?

Bir dik üçgenin doğru olduğunu kanıtlamak için kenarlarının ölçümlerinin Pisagor Teoremine uyması gerekir.

Verilen ölçüler Pisagor teoremini sağladığına göre yani hipotenüsün karesi bacakların karesinin toplamına eşit olduğuna göre üçgenin bir dikdörtgen olduğunu söyleyebiliriz.

Siz de okuyun: Dikdörtgen Üçgende Metrik İlişkiler

Pisagor Üçgeni

Kenarları ölçüldüğünde sağ üçgen pozitif tamsayılardır, üçgene Pisagor üçgeni denir.

Bu durumda bacaklar ve hipotenüs “Pisagor kıyafeti” veya “Pisagor üçlüsü” olarak adlandırılır. Üç sayının bir Pisagor üçlüsü oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için şu ilişkiyi kullanırız:² = b² + c².

En iyi bilinen Pisagor üçlüsü sayılarla temsil edilir: 3, 4, 5. Hipotenüs 5'e, büyük bacak 4'e ve küçük bacak 3'e eşittir.

Üçgenin her iki tarafına çizilen karelerin alanının tıpkı aşağıdaki gibi ilişkili olduğuna dikkat edin. Pisagor teoremi: Karenin uzun kenarının alanı, diğer ikisinin alanlarının toplamına karşılık gelir. Meydan.

İlginç bir şekilde, bu sayıların katları da bir Pisagor takımı oluşturur. Örneğin, 3, 4 ve 5 üçlüsünü 3 ile çarparsak 9, 12 ve 15 sayılarını elde ederiz ki bu da Pisagor takımını oluşturur.

Takım 3, 4 ve 5'e ek olarak, çok sayıda başka takım da var. Örnek olarak şunları söyleyebiliriz:

• 5, 12 ve 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 ve 29
• 12, 35 ve 37

Siz de okuyun: Dikdörtgen Üçgende Trigonometri

Pisagor kimdi?

tarihe göre Samoslu Pisagor (570 a. Ç. - 495 a. C.), Güney İtalya'da bulunan Pisagor Okulu'nu kuran bir Yunan filozof ve matematikçiydi. Pisagor Topluluğu olarak da adlandırılan bu topluluk, Matematik, Astronomi ve Müzik alanındaki çalışmaları içeriyordu.

Dik üçgenin metrik ilişkileri Pisagor'dan çok önce yaşayan Babilliler tarafından zaten bilinmesine rağmen, Herhangi bir dik üçgene uygulanan bu teoremin ilk kanıtının Pisagor.

Pisagor Teoremi, matematikte en iyi bilinen, en önemli ve kullanılan teoremlerden biridir. Analitik geometri, düzlem geometri, uzaysal geometri ve trigonometrideki problemlerin çözümünde esastır.

Teoreme ek olarak, Pisagor Matematik Topluluğunun diğer önemli katkıları şunlardı:

• İrrasyonel sayıların keşfi;
• Tam sayıların özellikleri;
• MMC ve MDC.

Siz de okuyun: Matematik Formülleri

Pisagor Teoreminin İspatları

Pisagor teoremini kanıtlamanın birkaç yolu vardır. Örneğin, kitap Pisagor Önermesi, 1927'de yayınlanan, bunu göstermenin 230 yolunu sundu ve 1940'ta yayınlanan başka bir baskı 370 gösteriye yükseldi.

Aşağıdaki videoyu izleyin ve Pisagor Teoreminin bazı gösterimlerine göz atın.

Pisagor teoremini kanıtlamanın kaç yolu var? - Betty Fei

Pisagor Teoremi Üzerine Yorumlu Alıştırmalar

soru 1

(PUC) Bir dik üçgenin üç kenarının karelerinin toplamı 32'ye eşittir. Üçgenin hipotenüsü ne kadardır?

a) 3
b) 4
c) 5
6

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: b) 4.

Açıklamadaki bilgilerden biliyoruz ki,² + b² + c² = 32. Öte yandan, Pisagor teoremi ile² = b² + c² .

b'nin değerini değiştirme²+c² tarafından² ilk ifadede şunu buluruz:

² +² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ için² = 32/2 ⇒ için² = 16 ⇒ a = √ 16
a=4

Daha fazla soru için bkz. Pisagor Teoremi - Alıştırmalar

soru 2

(Ve ya)

Aynı yükseklikte 5 basamaklı bir merdiven tasarımını temsil eden yukarıdaki şekilde, tırabzanın toplam uzunluğu şuna eşittir:

a) 1.9m
b) 2.1m
c) 2.0m
d) 1.8m
e) 2.2m

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: b) 2.1m.

Küpeştenin toplam uzunluğu, ölçüsünü bilmediğimiz bölüm ile 30 cm uzunluğundaki iki bölümün toplamına eşit olacaktır.

Şekilden, bilinmeyen bölümün, bacaklarından birinin ölçüsü 90 cm'ye eşit olan bir dik üçgenin hipotenüsünü temsil ettiğini görebiliriz.

Diğer bacağın ölçüsünü bulmak için 5 adımın uzunluğunu toplamamız gerekir. Bu nedenle, b = 5'imiz var. 24 = 120 cm.

Hipotenüsü hesaplamak için Pisagor teoremini bu üçgene uygulayalım.

² = 90² + 120² için² = 8100 + 14 400 ⇒² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Bacaklar (90 ve 120) 3, 4 ve 5 takımının katları olduğundan (tüm terimleri 30 ile çarparak) hipotenüsü hesaplamak için Pisagor takımları fikrini kullanabilirdik.

Bu şekilde, tırabzanın toplam ölçüsü şöyle olacaktır:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

ile bilginizi test edin Trigonometri Egzersizleri

Soru 3

(UERJ) Millôr Fernandes, Matematiğe güzel bir övgüyle, aşağıdaki parçayı çıkardığımız bir şiir yazdı:

Bir matematik kitabının pek çok sayfasına,
Bir Bölüm bir gün çılgınca aşık oldu
bir Bilinmeyen tarafından.
Sayısız bakışıyla ona baktı
ve onu tepeden tabana kadar gördü: garip bir figür;
eşkenar dörtgen gözler, yamuk ağız,
dikdörtgen vücut, sferoid göğüsler.
Hayatını onunkine paralel yaptı,
Infinity'de buluşana kadar.
"Kimsin?" - Radikal bir endişeyle sordu.
“Ben bacakların karelerinin toplamıyım.
Ama bana hipotenüs diyebilirsin.”

(Millet Fernandes. Otuz Yılım.)

Incognita kim olduğunu söylemek yanlıştı. Pisagor Teoremini karşılamak için aşağıdakiler yapılmalıdır.

a) “Ben bacakların toplamının karesiyim. Ama bana hipotenüs karesi de."
b) “Ben bacakların toplamıyım. Ama bana hipotenüs diyebilirsin."
c) “Ben bacakların toplamının karesiyim. Ama bana hipotenüs diyebilirsin."
d) “Ben bacakların karelerinin toplamıyım. Ama bana hipotenüs karesi de."

Yanıtı Gör

Alternatif d) “Ben bacakların karelerinin toplamıyım. Ama bana hipotenüs karesi de."

Konu hakkında daha fazla bilgi edinin:

• ikizkenar üçgen
• Sinüs, Kosinüs ve Tanjant
• Enem'de Matematik