PA ve PG: özet, formüller ve alıştırmalar

bu aritmetik ilerleme - PA ardışık sayılar arasında sabit bir fark olan bir değerler dizisidir.

bu geometrik ilerleme - PG ardışık iki terimi bölerken aynı bölümü olan sayılar sunar.

Aritmetik dizide terimler, öncülde ortak olan fark eklenerek elde edilirken, a'nın terimleri geometrik ilerlemeler, oran dizideki son sayı ile çarpılarak bulunur, böylece terim elde edilir. halefi.

Aşağıda iki tür ilerlemenin bir özeti bulunmaktadır.

Aritmetik İlerleme (AP)

Aritmetik bir ilerleme, oran olarak adlandırılan ve aşağıdaki şekilde hesaplanan sabit bir değerle birbirinden farklı terimlerden oluşan bir dizidir:

Nerede,

r BP'nin nedeni;
₂ ikinci terimdir;
₁ ilk terimdir.

Bu nedenle, bir aritmetik ilerlemenin terimleri aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bir PA'da şunu unutmayın: Hayır genel terimin formülünü (_Hayır) dizisi şöyledir:

_Hayır =₁ + (n – 1) r

Bazı özel durumlar şunlardır: 3 terimli bir AP (x - r, x, x + r) ile temsil edilir ve 5 terimli bir AP'nin bileşenleri (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

PA türleri

Oran değerine göre, aritmetik ilerlemeler 3 türe ayrılır:

1. sabit: oran sıfıra eşit olduğunda ve BP terimleri eşit olduğunda.

Örnek: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), burada r = 0

2. büyüyen: oran sıfırdan büyük olduğunda ve ikinci terim bir öncekinden daha büyük olduğunda;

Örnek: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), burada r = 2

3. Azalan: oran sıfırdan küçük olduğunda ve ikinciden bir terim öncekinden daha az olduğunda.

Örnek: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), burada r = - 2

Aritmetik ilerlemeler hala şu şekilde sınıflandırılabilir: sonlu, belirli sayıda terimleri olduğunda ve sonsuz, yani sonsuz terimlerle.

PA terimlerinin toplamı

Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu formülle hesaplanır:

Nerede, Hayır dizideki terim sayısıdır, ₁ ilk terimdir ve _Hayır n'inci terimdir. Formül, ilk ve son terimin verildiği soruları çözmek için kullanışlıdır.

Bir problemin ilk terimi ve BP nedeni varsa, şu formülü kullanabilirsiniz:

Bu iki formül, sonlu bir BP'nin terimlerini eklemek için kullanılır.

PA'nın ortalama süresi

Tek sayıda terim içeren bir BP'nin ortalama veya merkezi terimini belirlemek için, ilk ve son terimle aritmetik ortalamayı hesaplarız (a₁ ve_Hayır):

Bir PA'nın ardışık üç sayısı arasındaki ortalama terim, önceki ve ardılların aritmetik ortalamasına karşılık gelir.

Çözülmüş örnek

Verilen PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) oranını, terimin ortalamasını ve terimlerin toplamını belirleyin.

1. PA nedeni

2. orta vadeli

3. terimlerin toplamı

Hakkında daha fazla öğren aritmetik ilerleme.

Geometrik ilerleme (PG)

Bir dizi, ortak oran olarak adlandırılan, ardışık iki terimin bölünmesinden kaynaklanan bir çarpan faktörüne sahip olduğunda, geometrik bir ilerleme oluşur ve şu şekilde hesaplanır:

Nerede,

ne PG'nin nedeni;
₂ ikinci terimdir;
₁ ilk terimdir.

geometrik bir ilerleme Hayır terimler aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Olmak ₁ birinci terim, PG'nin genel terimi şu şekilde hesaplanır: ₁.q^(Hayır-1).

PG Türleri

(q) oranının değerine göre Geometrik İlerlemeleri 4 türe ayırabiliriz:

1. büyüyen: oran her zaman pozitiftir (q > 0) ve terimler artmaktadır;

Örnek: PG: (3, 9, 27, 81, ...), burada q = 3.

2. Azalan: oran her zaman pozitiftir (q > 0), sıfırdan farklı (0) ve terimler azalıyor;

Örnek: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), burada q = 3

3. salınan: neden olumsuz (q

Örnek: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), burada q = - 2

4. sabit: oran her zaman 1'e eşittir ve terimler aynı değere sahiptir.

Örnek: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), burada q = 1

Bir PG'nin terimlerinin toplamı

Geometrik bir ilerlemenin terimlerinin toplamı şu formülle hesaplanır:

Olmak ₁ ilk dönem, ne ortak sebep ve Hayır terim sayısı.

PG oranı 1'den küçükse, terimlerin toplamını belirlemek için aşağıdaki formülü kullanacağız.

Bu formüller sonlu bir PG için kullanılır. İstenen toplam sonsuz bir PG ise, kullanılan formül şudur:

PG'nin ortalama süresi

Tek sayıda terime sahip bir PG'nin ortalamasını veya merkezi terimini belirlemek için, ilk ve son terimle geometrik ortalamayı hesaplarız (a₁ ve_Hayır):

Çözülmüş örnek

Verilen PG (1, 3, 9, 27 ve 81) oranı, ortalama terimi ve terimlerin toplamını belirleyin.

1. PG nedeni

2. orta vadeli

3. terimlerin toplamı

Hakkında daha fazla öğren geometrik ilerleme.

PA ve PG formüllerinin özeti

aritmetik ilerleme	Geometrik ilerleme
sebep
Genel ifade
orta vadeli
sonlu toplam
sonsuz toplam

Hakkında daha fazla öğren sayı dizileri.

PA ve PG üzerine alıştırmalar

soru 1

3 ile başlayan ve KB oranı 4 olan dizinin 16. terimi kaçtır?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: d) 63.

Bir PA'nın oranı sabit olduğundan, birinci sayıya oranı ekleyerek dizideki ikinci terimi bulabiliriz.

₂ =₁ + r

₂ = 3 + 4

₂ = 7

Dolayısıyla bu dizinin (3, 7, 11, 15, 19, 23, …) ile oluştuğunu söyleyebiliriz.

16. terim genel terim formülü ile hesaplanabilir.

_Hayır =₁ + (n - 1). r

₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

₁₆ = 3 + 15.4

₁₆ = 3 + 60

₁₆ = 63

Bu nedenle sorunun cevabı 63'tür.

soru 2

Dizideki ilk üç sayının toplamı 12 ve son ikisinin toplamı -34 olan altı terimli bir AP'nin oranı nedir?

a) 7
b) - 6
c) – 5
d) 5

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: b) – 6.

Bir aritmetik ilerlemenin terimleri için genel formül,₁, (bir₁ + r), (bir₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Bu nedenle, ilk üç terimin toplamı aşağıdaki gibi yazılabilir:

₁ + (₁ + r) + (bir₁ + 2r) = 12
3 üncü₁ + 3r = 12
3 üncü₁ = 12 - 3r
₁ = (12 - 3r)/3
₁ = 4 - r

Ve son iki terimin toplamı:

(₁ + 4r) + (bir₁ + 5r) = – 34
2.₁ + 9r = – 34

Şimdi değiştiriyoruz₁ 4 – r.

2(4 – r) + 9r = – 34
8 – 2r + 9r = – 34
7r = – 34 – 8
7r = – 42
r = – 42/7
r = – 6

Bu nedenle, PG oranı - 6'dır.

Soru 3

Bir GP'nin üçüncü terimi 28 ve dördüncü terimi 56 ise, bu geometrik ilerlemenin ilk 5 terimi nedir?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: d) 7, 14, 28, 56, 112

İlk olarak, bu PG'nin oranını hesaplamalıyız. Bunun için şu formülü kullanacağız:

₄ =₃. ne
56 = 28. ne
56 / 28 = q
q = 2

Şimdi ilk 5 terimi hesaplıyoruz. ile başlayacağız₁ genel terim formülü kullanılır.

_Hayır =₁. ne^(n-1)
₃ =₁ . ne^(3-1)
28 =₁. 2²
₁ = 28/ 4 = 7

Kalan terimler, önceki terimin oran ile çarpılmasıyla hesaplanabilir.

₂ =₁.q
₂ = 7. 2
₂ = 14

₅ =₄. ne
₅ = 56. 2
₅ = 112

Bu nedenle, PG'nin ilk 5 terimi:

1. dönem: 7
2. dönem: 14
3. dönem: 28
4. dönem: 56
5. dönem: 112

Pratik yapmaya devam etmek için diğer alıştırmalara da bakın:

• Aritmetik İlerleme Üzerine Alıştırmalar
• Geometrik İlerleme Üzerine Alıştırmalar