Lise Denklemi: Yorumlu Alıştırmalar ve Yarışma Soruları

Bir ikinci derece denklem denklemin tamamı formdadır balta² + bx + c = 0, a, b ve c reel sayılar ve a ≠ 0 ile. Bu tür bir denklemi çözmek için farklı yöntemler kullanabilirsiniz.

Tüm şüphelerinizi gidermek için aşağıdaki alıştırmaların yorumlanmış çözümlerini kullanın. Ayrıca, çözülmüş yarışma sorularıyla bilginizi test ettiğinizden emin olun.

Yorumlanmış Egzersizler

1. Egzersiz

Annemin yaşının benim yaşımla çarpımı 525'e eşittir. Ben doğduğumda annem 20 yaşındaysa ben kaç yaşındayım?

Çözüm

yaşımı eşit sayarsak x, o zaman annemin yaşının eşit olduğunu düşünebiliriz x + 20. O zaman çağımızın ürününün değerini nasıl bileceğiz:

x. (x + 20) = 525

Çarpmanın dağılma özelliklerine uygulanması:

x² + 20 x - 525 = 0

Daha sonra a = 1, b = 20 ve c = - 525 olan tam bir 2. derece denkleme ulaşırız.

Denklemin köklerini yani denklemin sıfıra eşit olduğu yerde x değerlerini hesaplamak için Bhaskara'nın formülünü kullanalım.

İlk olarak, ∆ değerini hesaplamalıyız:

Kökleri hesaplamak için şunları kullanırız:

Yukarıdaki formüldeki değerleri değiştirerek denklemin köklerini şu şekilde bulacağız:

Yaşım negatif olamayacağı için -35 değerini küçümsüyoruz. Yani sonuç 15 yıl.

Egzersiz 2

Aşağıdaki şekilde temsil edilen bir kare, dikdörtgen şeklindedir ve alanı 1 350 m'ye eşittir.². Genişliğinin yüksekliğinin 3/2'sine denk geldiğini bilerek karenin boyutlarını belirleyin.

Çözüm

yüksekliğinin eşit olduğu düşünüldüğünde x, genişlik daha sonra eşit olacaktır 3/2x. Bir dikdörtgenin alanı, tabanının yükseklik değeri ile çarpılmasıyla hesaplanır. Bu durumda, elimizde:

a = 3/2, b = 0 ve c = - 1350 ile eksik bir 2. derece denkleme ulaşıyoruz, bu tür denklemi x'i izole ederek ve karekök değerini hesaplayarak hesaplayabiliriz.

x değeri yükseklik ölçüsünü temsil ettiği için - 30'u dikkate almayacağız. Böylece dikdörtgenin yüksekliği 30 m'ye eşittir. Genişliği hesaplamak için bu değeri 3/2 ile çarpalım:

Bu nedenle, kare genişliği eşittir 45 m ve yüksekliği eşittir 30 m.

Egzersiz 3

Böylece x = 1, 2ax denkleminin köküdür.² + (2.² - a - 4) x - (2 + bir²) = 0, a'nın değerleri şöyle olmalıdır:

a) 3 ve 2
b) - 1 ve 1
c) 2 ve - 3
d) 0 ve 2
e) - 3 ve - 2

Çözüm

a'nın değerini bulmak için önce x'i 1 ile değiştirelim. Bu şekilde, denklem şöyle görünecektir:

2.a.1² + (2.² - ila - 4). 1 - 2 - bir² = 0
2. + 2.² - için - 4 - 2 - için² = 0
² + ila - 6 = 0

Şimdi, tam 2. dereceden denklemin kökünü hesaplamalıyız, bunun için Bhaskara'nın formülünü kullanacağız.

Bu nedenle, doğru alternatif, C harfi.

Yarışma Soruları

1) Epcar - 2017

ℝ'deki denklemi (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = x değişkeninde 0, burada m - 2 dışında bir gerçek sayıdır.

Aşağıdaki ifadeleri gözden geçirin ve bunları V (DOĞRU) veya F (YANLIŞ) olarak derecelendirin.

( ) Tüm m > 2 için denklemin boş bir çözüm kümesi vardır.
( ) Denklemin eşit kökleri kabul etmesi için m'nin iki gerçek değeri vardır.
( ) Denklemde ∆ >0 ise m sadece pozitif değerler alabilir.

Doğru sıra

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F

Yanıtı Gör

Şimdi ifadelerin her birine bakalım:

Tüm m > 2 için denklemin boş bir çözüm kümesi vardır.

Denklem ℝ'de ikinci dereceden olduğu için delta sıfırdan küçük olduğunda çözümü olmayacaktır. Bu değeri hesapladığımızda:

Yani ilk ifade doğrudur.

Denklemin eşit kökleri kabul etmesi için iki gerçek m değeri vardır.

Δ=0 olduğunda denklemin gerçek kökleri eşit olacaktır, yani:

- 4m + 8 =0
m=2

Bu nedenle, köklerin gerçek ve eşit olduğu tek bir m değeri olduğundan ifade yanlıştır.

Denklemde ∆ >0 ise m sadece pozitif değerler alabilir.

Δ>0 için:

Sonsuz reel sayılar kümesinde 2'den küçük negatif sayılar olduğu için ifade de yanlıştır.

Alternatif d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura "ev"de 2. dereceden bir denklemi çözmek zorundadır, ancak karatahtadan not defterine kopyalarken x'in katsayısını kopyalamayı unuttuğunu fark eder. Denklemi çözmek için şu şekilde kaydetti: 4x² + balta + 9 = 0. Denklemin tek bir çözümü olduğunu ve bunun da pozitif olduğunu bildiğinden, a'nın değerini belirleyebildi.

a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13

Yanıtı Gör

2. dereceden bir denklemin tek bir çözümü olduğunda, Bhaskara'nın formülündeki delta sıfıra eşittir. Yani değerini bulmak için , sadece deltayı hesaplayın, değerini sıfıra eşitleyin.

Yani eğer a = 12 veya a = - 12 ise denklemin sadece bir kökü olacaktır. Ancak yine de aşağıdaki değerlerden hangisini kontrol etmemiz gerekiyor. sonuç pozitif bir kök olacaktır.

Bunun için değerlerin kökünü bulalım. .

Yani a = -12 için denklemin sadece bir kökü ve pozitifi olacaktır.

Alternatif b: -12

3) Düşman - 2016

Tünel beton bir örtü ile kapatılmalıdır. Tünelin ve beton kaplamanın kesiti bir parabol kemerinin konturlarına ve aynı boyutlara sahiptir. İşin maliyetini belirlemek için, bir mühendis söz konusu parabolik yayın altındaki alanı hesaplamalıdır. Yer seviyesindeki yatay ekseni ve dikey eksen olarak parabolün simetri eksenini kullanarak, parabol için aşağıdaki denklemi elde etti:
y = 9 - x², burada x ve y metre cinsinden ölçülür.
Bunun gibi bir parabolün altındaki alanın, boyutları sırasıyla tünel girişinin tabanına ve yüksekliğine eşit olan dikdörtgenin alanının 2/3'üne eşit olduğu bilinmektedir.
Beton kaplamanın ön tarafının alanı kaç metrekaredir?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Yanıtı Gör

Bu sorunu çözmek için tünel girişinin taban ve yükseklik ölçülerini aşağıdaki gibi bulmamız gerekiyor. problem bize cephenin alanının bu boyutlara sahip dikdörtgenin alanının 2/3'üne eşit olduğunu söylüyor.

Bu değerler verilen 2. derece denklemden bulunacaktır. Bu denklemin parabolü içbükeyliği azaltmıştır, çünkü katsayı negatif. Aşağıda bu benzetmenin ana hatları verilmiştir.

Grafikten, tünelin tabanının ölçüsünün denklemin kökleri hesaplanarak bulunacağını görebiliriz. Zaten yüksekliği, tepenin ölçüsüne eşit olacaktır.

Kökleri hesaplamak için, denklemin 9 - x olduğunu gözlemliyoruz.² eksik, bu yüzden denklemi sıfıra eşitleyerek ve x'i izole ederek köklerini bulabiliriz:

Bu nedenle, tünelin tabanının ölçümü 6 m'ye, yani iki kök arasındaki mesafeye (-3 ve 3) eşit olacaktır.

Grafiğe baktığımızda, tepe noktasının, x'in sıfıra eşit olduğu y eksenindeki değere karşılık geldiğini görüyoruz, yani elimizde:

Artık tünelin taban ve yükseklik ölçülerini bildiğimize göre alanını hesaplayabiliriz:

Alternatif c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

(x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 denkleminin hangi "a" değeri için iki kökü vardır ve eşittir?

1'e
b) 0
c) 1
d) 2

Yanıtı Gör

2. dereceden bir denklemin iki eşit kökü olması için Δ=0, yani b olması gerekir.²-4ac=0. Deltayı hesaplamadan önce denklemi ax şeklinde yazmamız gerekiyor.² + bx + c = 0.

Dağılma özelliğini uygulayarak başlayabiliriz. Ancak, (x - 2 ) ifadesinin her iki terimde de tekrarlandığını not edelim, o halde bunu kanıt olarak gösterelim:

(x - 2) (2ax -3 - balta + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0

Şimdi, ürünü dağıtırken elimizde:

balta² - 2x - 2ax + 4 = 0

Δ'yi hesaplayarak ve sıfıra eşitleyerek şunları buluruz:

Yani a = 1 olduğunda denklemin iki eşit kökü olacaktır.

Alternatif c: 1

Daha fazla bilgi edinmek için ayrıca bkz.:

• İkinci derece denklem
• Birinci Derece Denklem
• İkinci dereceden fonksiyon
• İkinci Dereceden Fonksiyon - Alıştırmalar
• Doğrusal fonksiyon
• İlgili Fonksiyon Egzersizleri