จำนวนอตรรกยะ: มันคืออะไร, การดำเนินการ, ตัวอย่าง

คุณ จำนวนอตรรกยะ ทำให้เกิดความสับสนในนักคณิตศาสตร์เป็นเวลานาน วันนี้ กำหนดไว้อย่างดีแล้ว เรารู้ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะที่มี การแสดงทศนิยมมักจะเป็นทศนิยมที่ไม่เป็นระยะ. ลักษณะสำคัญของจำนวนอตรรกยะ และสิ่งที่ทำให้แตกต่างจากจำนวนตรรกยะ คือ พวกมัน ไม่สามารถแสดงโดย a เศษส่วน.

การศึกษาจำนวนอตรรกยะลึกซึ้งยิ่งขึ้นเมื่อเมื่อคำนวณปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส พบรากที่ไม่แน่นอน การมองหาวิธีแก้ปัญหารากที่ไม่แน่นอนเหล่านี้ทำให้การมีอยู่ของส่วนสิบที่ไม่แน่นอนนั้นน่าทึ่ง เป็นระยะ กล่าวคือ ของตัวเลขที่มีส่วนทศนิยมเป็นอนันต์และไม่มีลำดับที่ดี กำหนดไว้ จำนวนอตรรกยะหลักคือทศนิยมไม่เป็นระยะ รากไม่แน่นอน และ π

อ่านด้วย: รากที่สอง - กรณีของการรูตโดยที่ดัชนีรากที่สองคือ 2

ชุดของจำนวนอตรรกยะ

รากไม่แน่นอนเป็นจำนวนอตรรกยะ

ก่อนศึกษาจำนวนอตรรกยะ ได้ศึกษาชุดของตัวเลข ธรรมชาติ, จำนวนเต็มและตรรกยะ เมื่อศึกษารูปสามเหลี่ยมมุมฉากให้ลึกลงไปแล้วจะเห็นได้ว่า มีรากบางตัวที่ไม่มีคำตอบที่แน่นอนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะเห็นว่าคำตอบของรูทที่ไม่แน่นอนคือตัวเลข เรียกว่าส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด.

ท่ามกลางความไม่สงบนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามแสดงให้เห็นว่ารากที่ไม่แน่นอนเป็นจำนวนตรรกยะและ ซึ่งสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ แต่สิ่งที่ได้ตระหนักคือ ตัวเลขเหล่านี้ไม่สามารถแทนได้ในนี้ แบบฟอร์ม. จวบจนบัดนี้ ชุดของจำนวนตรรกยะยังไม่รวมตัวเลขเหล่านี้ ความจำเป็นจึงเกิดขึ้นเพื่อสร้างชุดใหม่ เรียกว่า เซตของจำนวนอตรรกยะ

ตัวเลขไม่ลงตัวเมื่อการแสดงทศนิยมเป็นทศนิยมที่ไม่ใช่ระยะ

จำนวนอตรรกยะคืออะไร?

จะเป็นจำนวนอตรรกยะ ก็ต้องเป็นไปตามนิยาม คือ การแสดงทศนิยมของมันคือทศนิยมที่ไม่เป็นระยะ. ลักษณะสำคัญของทศนิยมที่ไม่เป็นคาบคือไม่สามารถแทนด้วยเศษส่วนได้ ซึ่งแสดงว่าจำนวนอตรรกยะอยู่ตรงข้ามกับจำนวนตรรกยะ

ตัวเลขหลักที่มีคุณสมบัตินี้คือ รากไม่แน่นอน

ตัวอย่าง:

ก) √2

ข) √5

ค) √7

ง) √13 

เมื่อมองหาคำตอบของรูทที่ไม่แน่นอน กล่าวคือ ทำการแทนค่าทศนิยมของตัวเลขเหล่านี้เสมอ เราจะหาทศนิยมที่ไม่เป็นระยะซึ่งทำให้ตัวเลขเหล่านี้เป็นองค์ประกอบของเซตของ ไม่ลงตัว

นอกจากรากที่ไม่แน่นอนแล้ว ยังมีทศนิยมที่ไม่เป็นคาบด้วย เช่น หากเราคำนวณรากที่ไม่แน่นอน เราจะพบทศนิยมที่ไม่เป็นคาบ

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

ตัวเลขอตรรกยะมักใช้อักษรกรีกแทนเนื่องจากไม่สามารถเขียนตำแหน่งทศนิยมทั้งหมดได้

คนแรกคือ is π (อ่าน: pi) อยู่ในการคำนวณพื้นที่และปริมณฑลของวงกลม มีค่าเท่ากับ 3,1415926535…

นอกเหนือจาก π แล้ว ตัวเลขทั่วไปอีกจำนวนหนึ่งคือ ϕ (อ่าน: fi) เขาถูกพบในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ สัดส่วน ทอง มีค่าเท่ากับ 1.618033...

ดูด้วย: จำนวนเฉพาะคืออะไร?

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

เมื่อวิเคราะห์ชุดตัวเลข สิ่งสำคัญคือต้องแยกความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ. การรวมกันของทั้งสองชุดนี้ก่อให้เกิดหนึ่งในชุดคณิตศาสตร์ที่มีการศึกษามากที่สุด นั่นคือ เซตของจำนวนจริง กล่าวคือ เซตของ ตัวเลขจริง มันคือการรวมตัวของตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน (ตรรกยะ) กับตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ (อตรรกยะ)

ในชุดของ สรุปตัวเลขมีทั้งจำนวนเต็ม ตัวเลขธรรมชาติ ทศนิยมที่แน่นอน และทศนิยมเป็นระยะ

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ:

-60 → จำนวนเต็ม

2.5 → ทศนิยมที่แน่นอน

5.1111111… → ทศนิยมเป็นระยะ

จำนวนอตรรกยะเป็นทศนิยมที่ไม่เป็นคาบ ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะและอตรรกยะในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ:

1,123149… → ส่วนสิบไม่ต่อเนื่อง

2.769235… → ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวด

การดำเนินการกับจำนวนอตรรกยะ

• การบวกและการลบ

THE ส่วนที่เพิ่มเข้าไป และ การลบ ของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนมักจะเป็น เพิ่งเป็นตัวแทนเว้นแต่จะใช้การประมาณทศนิยมของตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น

ก) √6 + √5

ข) √6 – √5

ค) 1.414213… + 3.1415926535…

เราไม่สามารถบวกหรือลบค่าได้เนื่องจากตัวคูณ เราจึงเหลือการดำเนินการที่ระบุ

ในการแทนค่าทศนิยม ยังไม่สามารถคำนวณผลรวมที่แน่นอนได้ ดังนั้น ในการบวกจำนวนอตรรกยะสองจำนวน เราจำเป็นต้องมีการประมาณที่เป็นตรรกยะและการแสดงนี้เลือกตามความต้องการสำหรับความแม่นยำของข้อมูลนี้ ยิ่งเราพิจารณาตำแหน่งทศนิยมมากเท่าไหร่ เราก็จะได้ผลรวมที่แน่นอนมากขึ้นเท่านั้น

การสังเกต:ชุดของจำนวนอตรรกยะไม่ปิดสำหรับการบวกหรือการลบ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนอาจส่งผลให้จำนวนที่ไม่เป็นตรรกยะ ตัวอย่างเช่น หากเราคำนวณผลต่างของจำนวนอตรรกยะด้วยค่าตรงข้าม เราต้อง:

ก) √2 – √2 = 0

b) π + (-π) = 0

เรารู้ว่า 0 ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ

• การคูณและการหาร

การคูณและ แผนก ของจำนวนอตรรกยะ สามารถทำได้หากการแสดงเป็น a รังสีอย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับการแทนค่าทศนิยม กล่าวคือ การคูณหรือหารทศนิยมสองตำแหน่ง จำเป็นต้องมีการประมาณอย่างมีเหตุผลของตัวเลขนี้

ก) √7 · √5 = √35

ข) √32: √2 = √16 = 4

โปรดทราบว่าในตัวอย่าง b 4 เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าการคูณและการหารของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนจะไม่ถูกปิด นั่นคือ พวกมันสามารถให้ผลลัพธ์ที่เป็นตรรกยะได้

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - ตรวจสอบตัวเลขต่อไปนี้:

I) 3.1415926535

II) 4,1234510….

III) 2π

IV) 1.123123123...

วี) √36

VI) √12

เหล่านี้เป็นจำนวนอตรรกยะ:

A) มีเพียง I, IV และ V

B) เฉพาะ II, III และ VI

C) เฉพาะ II, IV และ VI

D) เฉพาะ I, II, III และ VI

E) เฉพาะ III, IV, V และ VI

ความละเอียด

ทางเลือก B

I → ตัวเลขนั้นเป็นทศนิยมที่แน่นอนและมีเหตุผล

II → ตัวเลขนั้นเป็นทศนิยมที่ไม่เป็นงวดและไม่ลงตัว

III → π เป็นจำนวนอตรรกยะ และทวีคูณ นั่นคือ 2π ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน

IV → ตัวเลขเป็นทศนิยมที่มีเหตุมีผลเป็นระยะๆ

V → รูทที่แน่นอนและมีเหตุผล

VI → รูตไม่แน่นอน ไม่มีเหตุผล

คำถามที่ 2 - โปรดตัดสินข้อความต่อไปนี้:

I – เซตของจำนวนจริงคือการรวมกันของตรรกยะและอตรรกยะ

II – ผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนสามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้

III – ส่วนสิบเป็นจำนวนอตรรกยะ

จากการวิเคราะห์ข้อความดังกล่าว เราสามารถพูดได้ว่า:

ก) คำเดียวที่ฉันเป็นความจริง

B) เฉพาะข้อความ II เท่านั้นที่เป็นจริง

C) เฉพาะคำสั่ง III เท่านั้นที่เป็นจริง

D) เฉพาะข้อความ I และ II เท่านั้นที่เป็นจริง

จ) ข้อความทั้งหมดเป็นความจริง

ความละเอียด

ทางเลือก D

I → จริง เพราะนิยามของเซตของจำนวนจริงคือการรวมกันระหว่างจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

II → จริง เมื่อเราบวกตัวเลขตรงข้ามกับตัวเลขนั้น เราจะได้ตัวเลข 0 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ

III → เท็จ ส่วนสิบที่ไม่เป็นงวดนั้นไม่มีเหตุผล

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm