คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน

ตัวเลขที่มีอยู่ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นตามความต้องการของมนุษย์ในขณะที่สร้าง เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติซึ่ง ถูกสร้างขึ้นเพื่อนับและควบคุม "หุ้น" และจำนวนอตรรกยะซึ่งจัดตั้งขึ้นเพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ ราก. มันคือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรากเหง้าที่เริ่มต้นความรู้เกี่ยวกับ ตัวเลขที่ซับซ้อน

สมการกำลังสอง x² + 4x + 5 = 0 ไม่มีรากที่แท้จริง ซึ่งหมายความว่าภายในเซตของจำนวนจริง เป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่าของ x ที่เท่ากับเทอมแรกของสมการนี้กับค่าที่สอง เราสังเกตปรากฏการณ์นี้ตั้งแต่เริ่มต้นสูตรของ Bhaskara:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

เมื่อพบค่าลบสำหรับ Δ จะไม่สามารถดำเนินการตามสูตรของ Bhaskara ได้ เนื่องจากต้องคำนวณ √Δ (รากของเดลต้า) ตอนนี้ เรารู้ว่า √– 4 ไม่สามารถคำนวณได้เพราะไม่มีจำนวนจริงที่คูณด้วยตัวมันเองแล้วจะได้ – 4

ตัวเลขที่ซับซ้อนถูกสร้างขึ้นเพื่อตอบสนองความต้องการเหล่านี้ จากการสร้าง √– 4 สามารถพัฒนาได้ดังนี้:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

√(– 1) ถูกเข้าใจว่าเป็นตัวเลขประเภทใหม่ เซตของจำนวนทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อน และตัวแทนของเซตใหม่แต่ละตัวถูกกำหนดดังนี้: ให้ A เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว

เอ = + บีฉันที่ไหน และ บี เป็นจำนวนจริงและ i = √(– 1)

ในคำจำกัดความนี้ เรียกว่า ส่วนที่แท้จริงของ A และ บี เรียกว่า ส่วนจินตภาพของ A

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริงเป็นตัวแทนของเส้นทั้งหมดและในทางเรขาคณิต ในทางกลับกัน จำนวนเชิงซ้อนก็เป็นตัวแทนของระนาบทั้งหมด เครื่องบินคาร์ทีเซียนที่ใช้แทนจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าระนาบอาร์แกนด์-เกาส์

ทุกจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงบนระนาบ Argand-Gauss เป็นจุดพิกัด (a, b) ระยะทางจากจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนถึงจุด (0,0) เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งถูกกำหนด:

ให้ A = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน โมดูลัสของมันคือ |A| =² + ข²

จำนวนเชิงซ้อนยังมีองค์ประกอบผกผันที่เรียกว่าคอนจูเกต ถูกกำหนดเป็น:

ให้ A = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน

Ā = a – bi เป็นคอนจูเกตของตัวเลขนี้

คุณสมบัติ 1: ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนและคอนจูเกตเท่ากับผลรวมของกำลังสองของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน ทางคณิตศาสตร์:

เอĀ = เอ² + ข²

ตัวอย่าง: ผลคูณของ A = 2 + 5i โดยคอนจูเกตเป็นเท่าใด

เพียงแค่ทำการคำนวณ: a² + ข² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. หากเราเลือกเขียนคอนจูเกตของ A และหลังจากนั้น ทำการคูณ AĀ เราจะได้:

AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

AĀ = 4 – 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

กล่าวคือ การใช้คุณสมบัติที่เสนอทำให้สามารถหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ยาวนานและข้อผิดพลาดระหว่างการคำนวณเหล่านี้ได้

ทรัพย์สิน 2: ถ้าจำนวนเชิงซ้อน A เท่ากับคอนจูเกต A จะเป็นจำนวนจริง

ให้ A = a + bi ถ้า A = Ā ดังนั้น:

a + bi = a - bi

ไบ = - บี

ข = - ข

ดังนั้น b = 0

ดังนั้นจึงจำเป็นที่ทุกจำนวนเชิงซ้อนที่เท่ากับคอนจูเกตต้องเป็นจำนวนจริงด้วย

ทรัพย์สิน 3: คอนจูเกตของผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเท่ากับผลรวมของคอนจูเกตของตัวเลขเหล่านี้, นั่นคือ:

_____ _ _ 
A + B = A + B

ตัวอย่าง: คอนจูเกตของผลรวมของ 7 + 9i และ 2 + 4i คืออะไร

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i

คุณสามารถเพิ่มก่อนแล้วจึงคำนวณคอนจูเกตของผลลัพธ์ หรือทำคอนจูเกตก่อนแล้วจึงเพิ่มผลลัพธ์ในภายหลัง

คุณสมบัติ 4: คอนจูเกตของผลิตภัณฑ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเท่ากับผลคูณของคอนจูเกต กล่าวคือ:

__ _ _
AB = A·B

ตัวอย่าง: ผลคูณของคอนจูเกตของ A = 7i + 10 และ B = 4 + 3i คืออะไร?

(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i

ขึ้นอยู่กับความจำเป็นในการออกกำลังกาย เป็นไปได้ที่จะคูณก่อนแล้วคำนวณคอนจูเกตในภายหลัง หรือแสดงคอนจูเกตก่อนทำการคูณ

ทรัพย์สิน 5: ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน A และคอนจูเกตเท่ากับกำลังสองของโมดูลัสของ A กล่าวคือ:

AĀ = |A|²

ตัวอย่าง: A = 2 + 6i จากนั้น AĀ = |A|² = (√a² + ข²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องหาคอนจูเกตและทำการคูณด้วยคุณสมบัติการกระจายของการคูณมากกว่าการบวก (เรียกว่าหัวฝักบัวขนาดเล็ก)

ทรัพย์สิน 6: โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเท่ากับโมดูลัสของคอนจูเกต กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

|A| = |Ā|

ตัวอย่าง: ค้นหาโมดูลัสของคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อน A = 3 + 4i

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องค้นหาคอนจูเกต เนื่องจากโมดูลเหมือนกัน

|A| = √(a² + ข²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

หาก |Ā| ถูกคำนวณ การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวจะเป็น บี ลบกำลังสองซึ่งมีผลบวก ดังนั้น ผลลัพธ์ยังคงเป็นรากของ 25

ทรัพย์สิน 7: ถ้า A และ B เป็นจำนวนเชิงซ้อน ผลคูณของโมดูลัสของ A และ B จะเท่ากับโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ของ A และ B, กล่าวคือ:

|AB| = |A||B|

ตัวอย่าง: ให้ A = 6 + 8i และ B = 4 + 3i |AB| เท่าไหร่?

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องคูณจำนวนเชิงซ้อนก่อนคำนวณโมดูลัส เป็นไปได้ที่จะคำนวณโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนแยกกัน แล้วคูณผลลัพธ์

|A| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

|B| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

|AB| = |A||B| = 10·5 = 50

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm