โอ แผนอาร์แกนด์-เกาส์ มันประกอบด้วยสองแกน: หนึ่งแนวตั้ง (เรียกว่าแกนจินตภาพ) และอีกอันในแนวนอน (เรียกว่าแกนจริง) มันเป็นไปได้ เป็นตัวแทนทางเรขาคณิต ตัวเลขเชิงซ้อนซึ่งอยู่ในรูปแบบพีชคณิต
ผ่านการแสดงทางเรขาคณิตนี้ เป็นไปได้ พัฒนาแนวคิดบางอย่าง เช่น โมดูลและอาร์กิวเมนต์ ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยพีชคณิตโดย z = a + bi ดังนั้นจึงแสดงด้วยจุด (a, b) ซึ่งเรียกว่าส่วนต่อท้าย
อ่านด้วย: การแสดงทางเรขาคณิตของผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน
การแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
ระนาบเชิงซ้อน หรือที่เรียกว่าระนาบอาร์แกนด์-เกาส์ ไม่มีอะไรมากไปกว่าเครื่องบินคาร์ทีเซียน สำหรับจำนวนเชิงซ้อน. ในระนาบ Argand-Gauss เป็นไปได้ที่จะแสดงจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดที่เรียกว่าส่วนต่อท้าย ด้วยการพัฒนาแผนที่ซับซ้อนมี there การพัฒนาของ เรขาคณิตวิเคราะห์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อนซึ่งทำให้สามารถพัฒนาแนวคิดที่สำคัญ เช่น โมดูลและอาร์กิวเมนต์
จำนวนเชิงซ้อนที่แสดงในรูปแบบพีชคณิตคือ z = a+bi, เกี่ยวกับอะไร เป็นส่วนที่แท้จริงและ บี เป็นส่วนจินตภาพ ดังนั้น, จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงเป็นจุด (a, b). ในระนาบ Argand-Gauss แกนนอนคือแกนของส่วนจริงและแกนตั้งคือแกนของส่วนจินตภาพ
ติด
โอ ชี้บนระนาบแทนจำนวนเชิงซ้อน เรียกอีกอย่างว่าส่วนต่อท้าย มีอยู่สามกรณีที่เป็นไปได้ของการเป็นตัวแทน: ส่วนต่อเติมจินตภาพ ส่วนต่อเติมจริง และส่วนต่อเติมจินตภาพล้วนๆ
ติดจินตภาพ
ส่วนต่อท้ายเรียกว่าจินตภาพเมื่อจำนวนเชิงซ้อนมีทั้ง a ส่วนจริงและส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์. ในกรณีนี้ คำต่อท้ายคือจุดหนึ่งในสี่จตุภาค ขึ้นอยู่กับค่าของ a, b และเครื่องหมายตามลำดับ
ตัวอย่าง:
ดูการแสดงจำนวนเชิงซ้อน z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i และ z4= 1 - 4i.
ดูด้วย: คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน
การต่อเติมจินตภาพล้วนๆ
จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจินตภาพบริสุทธิ์ เมื่อส่วนจริงของคุณมีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ z = bi โปรดทราบว่าในกรณีนี้ พิกัดแรกจะเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นเรามาทำงานกับจุดประเภท (0, b) เมื่อทำเครื่องหมายในระนาบ Argand-Gauss ให้เติมจินตภาพเสมอ จะเป็นจุดที่เป็นของแกนจินตภาพนั่นก็คือแกนตั้ง
ตัวอย่าง:
ดูการแสดงจำนวนเชิงซ้อน z1 = 2i และ z2= -3i.
ติดจริง
จำนวนเชิงซ้อนจัดอยู่ในประเภท a เบอร์จริงเมื่อคุณ ส่วนจินตภาพเท่ากับศูนย์นั่นคือ z = a ในกรณีนี้ พิกัดที่สองจะเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นเราจะทำงานกับจุดประเภท (a, 0) ดังนั้นส่วนจินตภาพจึงเป็นศูนย์และส่วนต่อท้ายมีอยู่ในแกนจริงของระนาบเชิงซ้อน
ตัวอย่าง:
ดูการแสดงจำนวนเชิงซ้อน z1 = 2 และ z2 = -4.
โมดูลจำนวนเชิงซ้อน
เมื่อแทนจำนวนเชิงซ้อน ให้ P (a, b) เป็นตัวต่อของจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi เรารู้โมดูลของจำนวนเชิงซ้อน a ระยะทางจากจุด P ถึงจุดเริ่มต้น. โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z แสดงโดย |z| ในการหาค่าของ |z| เราใช้ตัว ทฤษฎีบทพีทาโกรัส.
|z|² =a²+b²
นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงโดย:
ตัวอย่าง:
ค้นหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z = 12 -5i
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| =13
เข้าถึงด้วย: จำนวนตรรกยะคืออะไร?
อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน
เรารู้วิธี ข้อโต้แย้ง ของจำนวนเชิงซ้อน โอ มุม θ เกิดจากเวกเตอร์ OP และแกนจริง อาร์กิวเมนต์ของตัวเลขแสดงโดย arg(z) = θ
ในการหามุม เราใช้ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์
เพื่อหาค่าของอาร์กิวเมนต์ รู้ไซน์และโคไซน์ just ศึกษาตารางค่าสำหรับอัตราส่วนตรีโกณมิติเหล่านี้. โดยปกติ ในการสอบเข้าวิทยาลัยในหัวข้อนี้ อาร์กิวเมนต์คือ a มุมที่โดดเด่น.
ตัวอย่าง:
ค้นหาอาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน z = 1 + i
ก่อนอื่น มาคำนวณโมดูลัสของ z กัน
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = √2
เมื่อรู้ |z| เราสามารถคำนวณ ไซน์และโคไซน์ ของมุม
มุมที่มีไซน์และโคไซน์กับค่าที่พบคือ45º
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 - อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z = √3+ i คืออะไร ?
ก) วันที่ 30
ข) 45th
ค) 60th
ง) 90º
จ) 120th
ความละเอียด
ทางเลือก C
เรารู้ว่า a = √3 และ b = 1 ดังนั้น:
คำถามที่ 2 - ในแผนซ้อนต่อไปนี้ มีการแสดงตัวเลขบางส่วน การวิเคราะห์แผน เราสามารถพูดได้ว่าจุดต่างๆ เป็นตัวแทนของจำนวนจินตภาพล้วนๆ:
A) M, N และฉัน
B) P และฉัน
ค) L และ G.
D) O, ฉัน, G.
E) K, J และ L.
ความละเอียด
ทางเลือก ข.
ในการระบุจำนวนจินตภาพในระนาบเชิงซ้อน จำเป็นต้องอยู่บนแกนตั้ง ซึ่งในกรณีนี้คือจุด P และ I
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
