การดำเนินการกับเวกเตอร์และการแทนค่าทางเรขาคณิต

ต่างจากรูปทรงเรขาคณิตที่เขาสร้างขึ้น คะแนน ไม่มีคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่าในเรขาคณิต จุดคืออ็อบเจ็กต์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ซึ่งใช้ในการกำหนดออบเจกต์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น เส้นคือชุดของจุด แม้ว่าเส้นจะดูชัดเจน แต่เส้นก็ไม่มีคำจำกัดความ เนื่องจากชุดใดๆ ที่มีจุดสองจุดขึ้นไปจะถือว่าเป็นเส้นตรง

ในทางกลับกัน ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ จะใช้จุดเป็นจุดที่ตั้ง ตำแหน่งใดๆ สามารถแสดงด้วยจุดใดจุดหนึ่งได้ และนอกจากนี้ “ที่อยู่” ของจุดนั้นยังกำหนดโดยใช้พิกัด

อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ จุดสามารถระบุตำแหน่งได้เท่านั้น จำเป็นต้องใช้วัตถุอื่นเพื่อระบุวิถี ทิศทาง ทิศทาง และความเข้ม ในกรณีของสามข้อสุดท้ายนี้ วัตถุที่ได้รับเลือกให้เป็นตัวแทนของพวกมันในระนาบคาร์ทีเซียนคือ เวกเตอร์.

→ เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์จึงเป็นวัตถุที่บ่งบอกถึงทิศทาง ความรู้สึก และความรุนแรง พวกเขามักจะแสดงด้วยลูกศรซึ่งเริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นและใช้พิกัดของจุดสุดท้าย

ในภาพด้านบน เวกเตอร์จะแสดงในลักษณะนี้ กล่าวคือ ลูกศรที่มีพิกัดตรงกับจุดสุดท้าย เวกเตอร์ u มีพิกัด (2,2) และเวกเตอร์ v มีพิกัด (4,2) นอกจากนี้ ลูกศรยังใช้เพื่อระบุทิศทางและทิศทาง และขนาดของลูกศรแสดงถึงความเข้ม

→ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

จากเวกเตอร์ v = (a, b) ผลคูณของจำนวนจริง k โดย v ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)

ในการคูณจำนวนจริงด้วยเวกเตอร์ คุณต้องคูณจำนวนจริงด้วยพิกัดแต่ละตัว

ในทางเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนจริงจะเพิ่มขนาดของเวกเตอร์แบบเส้นตรง:

โปรดทราบว่า ในตัวอย่างด้านบน เวกเตอร์ u มีพิกัด (2.2) และเวกเตอร์ u·k มีพิกัด (4.4) การแก้สมการ (4.4) = k (2.2) สรุปได้ว่า k = 2

→ การเพิ่มเวกเตอร์

ให้เวกเตอร์สองตัว u = (a, b) และ v = (c, d) ผลรวมระหว่างพวกมันจะได้รับผ่านนิพจน์:

ยู + วี = (a + c, b + d)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แค่บวกพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์แต่ละตัว การดำเนินการนี้สามารถขยายได้เป็นผลรวมของเวกเตอร์ 3 ตัวขึ้นไปที่มี 3 มิติขึ้นไป

ในเชิงเรขาคณิต โดยเริ่มจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ u เวกเตอร์ v ' ถูกวาดขนานกับเวกเตอร์ v เริ่มจากเวกเตอร์ v, เวกเตอร์ u' ถูกวาดขนานกับเวกเตอร์ u เวกเตอร์สี่ตัวนี้สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ u + v เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อไปนี้:

ในการลบเวกเตอร์ ให้พิจารณาการลบเป็นผลรวมของเวกเตอร์หนึ่งและตรงข้ามกับอีกเวกเตอร์หนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากต้องการลบเวกเตอร์ v จากเวกเตอร์ u ให้เขียน: u – v = u + (-v) เวกเตอร์ -v คือเวกเตอร์ v แต่ด้วยเครื่องหมายพิกัดกลับด้าน

เมื่อมองอย่างใกล้ชิด การดำเนินการ "การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข" และ "การบวกเวกเตอร์" ใช้การคูณและการบวกกับจำนวนจริง แต่ในแต่ละองค์ประกอบของ เวกเตอร์ ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ คุณสมบัติทั้งหมดของการบวกและการคูณจำนวนจริงจึงใช้ได้ กล่าวคือ:

จากเวกเตอร์ u, v และ w และจำนวนจริง k และ l

ผม) (u + v) + w = ​​​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) มีเวกเตอร์ 0 = (0.0) โดยที่ v + 0 = v

iv) มีเวกเตอร์ -v ที่ v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ มาตรฐานของเวกเตอร์

บรรทัดฐานของเวกเตอร์เทียบเท่ากับขนาดของจำนวนจริง นั่นคือ ระยะห่างระหว่างเวกเตอร์กับจุด (0,0) หรือความยาวของเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง

บรรทัดฐานของเวกเตอร์ v = (a, b) แสดงโดย ||v|| และสามารถคำนวณได้โดยใช้นิพจน์:

||v|| = √(a2 + ข2)

→ ผลิตภัณฑ์ภายใน

ผลิตภัณฑ์ภายในเปรียบได้กับผลิตภัณฑ์ระหว่างเวกเตอร์ โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นผลคูณระหว่างเวกเตอร์กับจำนวนจริง ตอนนี้ "ผลิตภัณฑ์" ที่เป็นปัญหาอยู่ระหว่างเวกเตอร์สองตัว อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรพูดว่า "ผลิตภัณฑ์ระหว่างเวกเตอร์สองตัว" แต่ควรพูดว่า "ผลิตภัณฑ์ภายในระหว่างเวกเตอร์สองตัว" ผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์ v = (a, b) และ u = (c, d) แสดงโดย และสามารถคำนวณได้ดังนี้

= a·c + b·d

เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

=

โปรดทราบว่าการใช้บรรทัดฐานของเวกเตอร์ v = (a, b) เราสามารถเชื่อมโยงบรรทัดฐานและดอทโปรดัคได้

||v|| = √(a2 + ข2) = √(a·a + b·b) = √()


โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm

Microsoft ประกาศเทคโนโลยี ChatGPT บน Power Platform

เมื่อวันจันทร์ที่ 6 การเริ่มต้นสัปดาห์อีกครั้งและประกาศจากพื้นที่เทคโนโลยีที่รับประกันความประหลาด...

read more

พ่อแม่หลงตัวเอง: ค้นพบสัญญาณอันตราย 5 ประการในความสัมพันธ์นี้

การมีลูกเป็นช่วงเวลาที่พิเศษมาก เมื่อเขายังเป็นทารก ปฏิสัมพันธ์จะแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับตอนที่เป็...

read more

CNH พร้อมใช้งานบน Android: ตอนนี้คุณสามารถเข้าถึงเอกสารดิจิทัลผ่าน Google Wallet

ใบขับขี่แห่งชาติ (CNH) เป็นเอกสารที่จำเป็นสำหรับติดตัวเสมอ ตัวนำ. เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำ รวม...

read more