แก้ ระบบเชิงเส้น เป็นงานที่เกิดซ้ำมากสำหรับการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ การค้นหาค่าที่ไม่รู้จักนำไปสู่การพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นเช่นวิธีการบวกความเท่าเทียมกันและการแทนที่สำหรับระบบที่มี สองสมการและสองนิรนามและกฎและมาตราส่วนของ Crammer ซึ่งแก้ระบบเชิงเส้นตรงของสมการสองสมการ แต่จะสะดวกกว่าสำหรับระบบที่มีสมการมากกว่า ระบบเชิงเส้นตรงคือชุดของสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปโดยมีค่าไม่ทราบค่าตั้งแต่หนึ่งค่าขึ้นไป
อ่านด้วย:ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์กับระบบเชิงเส้นคืออะไร?
![ระบบเชิงเส้น](/f/171f41ed194e00ea44b2cc9728005184.jpg)
สมการเชิงเส้น
การทำงานกับสมการเกิดขึ้นเนื่องจาก ต้องหาค่าที่ไม่รู้จัก unknown. เราเรียกมันว่าสมการเมื่อเรามีนิพจน์พีชคณิตที่มีความเท่าเทียมกัน และมันถูกจัดประเภทเป็นเส้นตรงเมื่อเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของค่าไม่ทราบเป็น 1 ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้
2x + y = 7 → สมการเชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบค่าสองตัว
a + 4 = -3 → สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่งค่า
โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นสามารถอธิบายได้โดย:
1x1 + ที่2x2 + a3x3... + aไม่xไม่ = ค
เรารู้ว่าเป็นระบบสมการเมื่อมีสมการเชิงเส้นมากกว่าหนึ่งสมการ เราจะเริ่มด้วยระบบเชิงเส้นตรงของสองสิ่งที่ไม่รู้
การแก้ระบบเชิงเส้น
ระบบเชิงเส้นตรงที่มีสมการดีกรีที่ 1 สองสมการและนิรนามสองตัว
ในการแก้ระบบสมการสองสมการและนิรนามสองตัว มีหลายอย่าง วิธีการสามที่รู้จักกันดีคือ:
- วิธีเปรียบเทียบ
- วิธีการบวก
- วิธีการทดแทน
หนึ่งในสามสามารถแก้ระบบเชิงเส้นของสองสมการและสองไม่ทราบค่า วิธีการเหล่านี้ ไม่มีประสิทธิภาพเท่ากับระบบที่มีสมการมากกว่า moreเนื่องจากมีวิธีการเฉพาะอื่นๆ ในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้
วิธีการเปลี่ยน
วิธีการเปลี่ยนประกอบด้วย แยกหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จักออกมา one ในสมการใดสมการหนึ่งและ ทำการแทนที่ในสมการอื่น
ตัวอย่าง:
![](/f/0482dc79cdb5081358746a21396fe73c.jpg)
ขั้นตอนที่ 1: แยกหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
เราเรียก I ว่าสมการแรก และ II เป็นสมการที่สอง วิเคราะห์ทั้งสองกันเถอะ เลือกสิ่งที่ไม่รู้จักที่แยกได้ง่ายที่สุด โปรดทราบว่าใน สมการ I → x + 2y = 5, x ไม่มีสัมประสิทธิ์ ซึ่งทำให้แยกได้ง่ายขึ้น ดังนั้นเราจะเขียนสมการใหม่ ฉันชอบสิ่งนี้:
ฉัน → x + 2y = 5
ผม → x = 5 - 2y
ขั้นตอนที่ 2: แทนที่ I ใน II
ตอนนี้เรามีสมการ I กับ x เพียงอย่างเดียว ในสมการ II เราสามารถแทนที่ x ด้วย 5 – 2y
II → 3x – 5y = 4
แทนที่ x ด้วย 5 - 2y:
3 (5 - 2y) - 5y = 4
เมื่อสมการนี้ไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว ก็สามารถแก้สมการเพื่อหาค่าของ y ได้
![](/f/ede3cacb4c5791d3b524d4a327329897.jpg)
เมื่อทราบค่าของ y เราจะหาค่าของ x โดยแทนที่ค่าของ y ในสมการที่ I
ผม → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
ดังนั้นคำตอบของระบบคือ S = {3,1}
วิธีเปรียบเทียบ
วิธีเปรียบเทียบประกอบด้วย แยกสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการทั้งสองและทำให้ค่าเหล่านี้เท่ากัน.
ตัวอย่าง:
![](/f/c87db54b78e28993568ddef42b8e9b10.jpg)
ขั้นตอนที่ 1: ให้ฉันเป็นสมการแรก และ II เป็นสมการที่สอง ลองแยกหนึ่งในค่านิรนามใน I และ II กัน การเลือกแยก x ที่ไม่รู้จัก เราต้อง:
![](/f/c26e012b67273793793ecabc85bb4edc.jpg)
ขั้นตอนที่ 2: ให้สมการใหม่ทั้งสองเท่ากัน เนื่องจาก x = x
![](/f/4e1fdb55a3465de78309f232c03f0fbc.jpg)
ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ค่าของ y ด้วย -2 ในสมการใดสมการหนึ่ง
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
ดังนั้นคำตอบของระบบนี้คือเซต S = {2,-2}
ดูด้วย: อะไรคือความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันและสมการ?
วิธีการบวก
วิธีการบวกประกอบด้วยการคูณพจน์ทั้งหมดของสมการใดสมการหนึ่งในลักษณะที่เมื่อ การเพิ่มสมการ I เข้ากับสมการ II หนึ่งในค่าไม่ทราบค่าเท่ากับศูนย์.
ตัวอย่าง:
![](/f/427448c64a2e1bca103de254dfd54692.jpg)
ขั้นตอนที่ 1: คูณสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้สัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม
สังเกตว่าถ้าเราคูณสมการ II ด้วย 2 เรามี 4y ในสมการ II และ -4y ในสมการ I และนั่นโดย เราบวก I + II เรามี 0y ลองคูณพจน์ทั้งหมดในสมการ II ด้วย 2 เพื่อให้ได้สิ่งนี้ เกิดขึ้น
ฉัน → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
ขั้นตอนที่ 2: ดำเนินการรวม I + 2 · II
![](/f/1c2af462ca962a4ed6138bf34ff005b9.jpg)
ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ค่าของ x = 3 เป็นสมการใดสมการหนึ่ง
![](/f/bf42cc96eaa1e04565bd28a674846537.jpg)
ระบบเชิงเส้นตรงที่มีสมการดีกรีที่ 1 สามสมการและไม่ทราบค่า 3 ตัว
เมื่อระบบมีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก เราจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบอื่น วิธีการทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์กับเมทริกซ์ และวิธีการที่ใช้มากที่สุดคือกฎหรือมาตราส่วนของแครมเมอร์ สำหรับความละเอียดในทั้งสองวิธี จำเป็นต้องมีการแสดงเมทริกซ์ของระบบ แม้แต่ระบบ 2x2 ก็สามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ได้ มีสองรูปแบบที่เป็นไปได้คือเมทริกซ์ที่สมบูรณ์และเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์:
ตัวอย่าง:
ระบบ
![](/f/1a0e20798a043f81a25218dbaa5a6325.jpg)
สามารถแสดงโดย เมทริกซ์แบบเต็ม
![](/f/e227b1686c856fd16c0245e85390d58c.jpg)
และสำหรับ เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์
![](/f/3cb48489d944560d782c65f80f6c7614.jpg)
กฎของแครมเมอร์
เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบ 3x3 โดยไม่ทราบค่า x, y และ z โดยใช้ กฎของแครมเมอร์จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์และการแปรผันของเมทริกซ์ ดังนั้นเราต้อง:
![](/f/223bb3bfe84a8c6ebcd56b60fb5f3203.jpg)
D → ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ
ดีx → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ x ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ
ดีy → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ y ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ
ดีz → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ z ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ
ดังนั้น ในการหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักของคุณ ก่อนอื่นเราต้องคำนวณ ดีเทอร์มิแนนต์ D, Dx, ดิ๊y ที่เกี่ยวข้องกับระบบ
ตัวอย่าง:
![](/f/0da43dbcf7d32838051498b8a9aac384.jpg)
ขั้นตอนที่ 1: คำนวณ D.
![](/f/e18d64d8e0ec4729d6ca65636867089c.jpg)
ขั้นตอนที่ 2: คำนวณ Dx
![](/f/e86f4a18415f565c8292534e53ce8c91.jpg)
ขั้นตอนที่ 3: แล้วเราสามารถหาค่าของ x ได้เพราะ:
![](/f/9eae435a02d729243aea5b13a65514f5.jpg)
ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ Dย.
![](/f/2eb8fbb2d268b55cd8604be829eeb8bb.jpg)
ขั้นตอนที่ 5: จากนั้นเราสามารถคำนวณค่าของ y:
![](/f/10519d3b7f70fd3dfe1fadb3d77ff85f.jpg)
ขั้นตอนที่ 6: ตอนนี้เราทราบค่าของ x และ y แล้ว ในทั้งสองบรรทัด เราสามารถหาค่าของ z ได้โดยการแทนที่ค่าของ x และ y แล้วแยก z อีกทางเลือกหนึ่งคือการคำนวณ Dz.
การแทนที่ x = 0 และ y = 2 ในสมการแรก:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
ดังนั้น โซลูชันระบบคือการประกวดราคา (0.2,-1)
เข้าถึงด้วย: การแก้ปัญหาด้วยระบบสมการ
มาตราส่วน
อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นตรงคือ มาตราส่วน ซึ่งเราใช้เมทริกซ์ที่สมบูรณ์และการดำเนินการระหว่างเส้นตรงเท่านั้นเพื่อแยกสิ่งที่ไม่ทราบออกมา มาปรับขนาดระบบด้านล่างกัน
![](/f/b9a7c6c8fc1f818286e2f1800d280448.jpg)
ขั้นตอนที่ 1: เขียนเมทริกซ์ที่สมบูรณ์ที่แสดงถึงระบบ
![](/f/7d56c10986cff0d5dc0de4c86235b1d1.jpg)
เป็น L1, หลี่2 และหลี่3 ตามลำดับบรรทัดที่ 1, 2 และ 3 ของเมทริกซ์ เราจะดำเนินการระหว่าง L1 และหลี่2 และหลี่1 และหลี่3เพื่อให้ผลลัพธ์ทำให้คำศัพท์ที่อยู่ในคอลัมน์แรกของแถวที่สองและสามมีค่าเท่ากับศูนย์
วิเคราะห์บรรทัดที่สองของเมทริกซ์ ลองแทนที่ด้วยผลลัพธ์ของ L2 → -2 · L1 + L2 เพื่อให้เทอม a21 เป็นศูนย์
21 = -2 · 1 + 2 = 0
22 = -2 · 2 + 1 = -3
23 = -2 · (-3) + 1 = 7
24 =-2 · 10 + 3 = -17
ดังนั้น L2 จะเป็น 0 -3 7 -17
วิเคราะห์แถวที่สามของเมทริกซ์ แทนที่ด้วยผลลัพธ์ของ L3 → 3L1 + L2, เพื่อรีเซ็ตเงื่อนไขเป็น31.
31 = 3 · 1 – 3 = 0
32 = 3 · 2 + 2 = 8
33 = 3 · (-3) +1 = -8
34 = 3 · 10 – 6 = 24
ดังนั้น L3 จะเป็น 0 8 -8 24
สังเกตว่าทั้งหมดหารด้วย 8 ลงตัว ดังนั้นเส้น L3 ให้มันง่าย หารด้วย 8
หลี่3 → หลี่3 : 8 จะเป็น: 0 1-1 3
ดังนั้นเมทริกซ์ใหม่ของสมการมาตราส่วนจะเป็น:
![](/f/51eea90a0e9012964d5cf2852cfaabb2.jpg)
ตอนนี้เป้าหมายคือการรีเซ็ตคอลัมน์ y ในแถวที่สาม เราจะดำเนินการระหว่าง L2 และหลี่3โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อรีเซ็ตคอลัมน์ที่สองของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง
เราจะแทนที่ L3 ด้วย L3 → L2 + 3L3.
31 = 0 + 3 · 0 = 0
32 = -3 + 3 · 1 = 0
33 = 7 + 3 · (-1) = 4
34 = -17 + 3 · 3 = -8
โซโล3 จะเป็น: 0 0 4 -8.
เมทริกซ์ที่ปรับขนาดใหม่จะเป็น:
![](/f/00e927a85fc3f26a931931662db2010b.jpg)
ตอนนี้ เมื่อเราแสดงเมทริกซ์นี้เป็นระบบอีกครั้ง บวก x, y และ z ลงในคอลัมน์ เราจะพบสิ่งต่อไปนี้:
![](/f/48b3b0c951a48e5744564a18ceb4defb.jpg)
จากนั้นเราสามารถหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักได้ การวิเคราะห์สมการ III เราต้อง:
![](/f/711f1f88fbb9f94f9b46c61f150432bb.jpg)
ถ้า z = -2 ลองแทนค่าของ z ลงในสมการที่สอง:
![](/f/118966bfa97fdef05f809aad7de491dd.jpg)
สุดท้าย ในสมการแรก ลองแทนค่าของ y และ z เพื่อหาค่าของ x
![](/f/8ba81990f1d496c8996ca1607fadebfb.jpg)
ดูด้วย: ระบบความไม่เท่าเทียมกันระดับที่ 1 – จะแก้ไขอย่างไร?
การจำแนกระบบเชิงเส้น
ระบบเชิงเส้นตรงคือชุดของสมการเชิงเส้น ซึ่งอาจมีหลายค่าที่ไม่ทราบค่าและหลายสมการ มีหลายวิธีในการแก้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนของสมการ มีสาม การให้คะแนน สำหรับระบบเชิงเส้น
- กำหนดระบบที่เป็นไปได้ (SPD): เมื่อคุณมีทางออกเดียว
- ระบบที่ไม่ทราบแน่ชัด (SPI): เมื่อมีคำตอบที่ไม่สิ้นสุด
- ระบบที่เป็นไปไม่ได้(เอสไอ): เมื่อไม่มีวิธีแก้ปัญหา
แก้ไขแบบฝึกหัด
คำถามที่ 1 (IFG 2019) พิจารณาผลรวมของการวัดฐานและความสูงที่สัมพันธ์กับฐานของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับ 168 ซม. และส่วนต่างเท่ากับ 24 ซม. ถูกต้องที่จะระบุว่าการวัดฐานและความสูงสัมพันธ์กับการวัดฐานนี้ตามลำดับ:
ก) 72 ซม. และ 96 ซม.
ข) 144 ซม. และ 24 ซม.
ค) 96 ซม. และ 72 ซม.
ง) 24 ซม. และ 144 ซม.
ความละเอียด
ทางเลือก C
ให้ h → height และ b → base จากนั้นเราจะมีระบบดังต่อไปนี้:
![](/f/5b4534776f9bb55d9ec3bd0063f1cac2.jpg)
โดยวิธีการบวกเราต้อง:
![](/f/6179ee27178f9f8f4634c6d556bff019.jpg)
ในการหาค่าของ h ให้แทนที่ b = 96 cm ในสมการแรก:
b + h = 168
96 + ชั่วโมง = 168
ชั่วโมง = 168 - 96
ชั่วโมง = 72 ซม.
คำถาม2 เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งแสดงถึงระบบเชิงเส้นตรงต่อไปนี้คือ:
![](/f/7f2228cb7d07d219d28eed9af918ee84.jpg)
ความละเอียด
ทางเลือก C
เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์คือเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของ x, y และ z ดังนั้นมันจึงเป็นเมทริกซ์ขนาด 3x3 เมื่อวิเคราะห์ทางเลือกอื่น ตัวที่มีเมทริกซ์ 3x3 ที่มีเครื่องหมายถูกต้องคือตัวอักษร C
โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm