ระบบเชิงเส้นตรง: มันคืออะไร, วิธีแก้, ประเภท

แก้ ระบบเชิงเส้น เป็นงานที่เกิดซ้ำมากสำหรับการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ การค้นหาค่าที่ไม่รู้จักนำไปสู่การพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นเช่นวิธีการบวกความเท่าเทียมกันและการแทนที่สำหรับระบบที่มี สองสมการและสองนิรนามและกฎและมาตราส่วนของ Crammer ซึ่งแก้ระบบเชิงเส้นตรงของสมการสองสมการ แต่จะสะดวกกว่าสำหรับระบบที่มีสมการมากกว่า ระบบเชิงเส้นตรงคือชุดของสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปโดยมีค่าไม่ทราบค่าตั้งแต่หนึ่งค่าขึ้นไป

อ่านด้วย:ความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์กับระบบเชิงเส้นคืออะไร?

ระบบเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น

การทำงานกับสมการเกิดขึ้นเนื่องจาก ต้องหาค่าที่ไม่รู้จัก unknown. เราเรียกมันว่าสมการเมื่อเรามีนิพจน์พีชคณิตที่มีความเท่าเทียมกัน และมันถูกจัดประเภทเป็นเส้นตรงเมื่อเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของค่าไม่ทราบเป็น 1 ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้

2x + y = 7 → สมการเชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบค่าสองตัว

a + 4 = -3 → สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่งค่า

โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นสามารถอธิบายได้โดย:

₁x₁ + ที่₂x₂ + a3x3... + a_ไม่x_ไม่ = ค

เรารู้ว่าเป็นระบบสมการเมื่อมีสมการเชิงเส้นมากกว่าหนึ่งสมการ เราจะเริ่มด้วยระบบเชิงเส้นตรงของสองสิ่งที่ไม่รู้

การแก้ระบบเชิงเส้น

• ระบบเชิงเส้นตรงที่มีสมการดีกรีที่ 1 สองสมการและนิรนามสองตัว

ในการแก้ระบบสมการสองสมการและนิรนามสองตัว มีหลายอย่าง วิธีการสามที่รู้จักกันดีคือ:

• วิธีเปรียบเทียบ
• วิธีการบวก
• วิธีการทดแทน

หนึ่งในสามสามารถแก้ระบบเชิงเส้นของสองสมการและสองไม่ทราบค่า วิธีการเหล่านี้ ไม่มีประสิทธิภาพเท่ากับระบบที่มีสมการมากกว่า moreเนื่องจากมีวิธีการเฉพาะอื่นๆ ในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้

• วิธีการเปลี่ยน

วิธีการเปลี่ยนประกอบด้วย แยกหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จักออกมา one ในสมการใดสมการหนึ่งและ ทำการแทนที่ในสมการอื่น

ตัวอย่าง:

ขั้นตอนที่ 1: แยกหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก

เราเรียก I ว่าสมการแรก และ II เป็นสมการที่สอง วิเคราะห์ทั้งสองกันเถอะ เลือกสิ่งที่ไม่รู้จักที่แยกได้ง่ายที่สุด โปรดทราบว่าใน สมการ I → x + 2y = 5, x ไม่มีสัมประสิทธิ์ ซึ่งทำให้แยกได้ง่ายขึ้น ดังนั้นเราจะเขียนสมการใหม่ ฉันชอบสิ่งนี้:

ฉัน → x + 2y = 5

ผม → x = 5 - 2y

ขั้นตอนที่ 2: แทนที่ I ใน II

ตอนนี้เรามีสมการ I กับ x เพียงอย่างเดียว ในสมการ II เราสามารถแทนที่ x ด้วย 5 – 2y

II → 3x – 5y = 4

แทนที่ x ด้วย 5 - 2y:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

เมื่อสมการนี้ไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว ก็สามารถแก้สมการเพื่อหาค่าของ y ได้

เมื่อทราบค่าของ y เราจะหาค่าของ x โดยแทนที่ค่าของ y ในสมการที่ I

ผม → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

ดังนั้นคำตอบของระบบคือ S = {3,1}

• วิธีเปรียบเทียบ

วิธีเปรียบเทียบประกอบด้วย แยกสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการทั้งสองและทำให้ค่าเหล่านี้เท่ากัน.

ตัวอย่าง:

ขั้นตอนที่ 1: ให้ฉันเป็นสมการแรก และ II เป็นสมการที่สอง ลองแยกหนึ่งในค่านิรนามใน I และ II กัน การเลือกแยก x ที่ไม่รู้จัก เราต้อง:

ขั้นตอนที่ 2: ให้สมการใหม่ทั้งสองเท่ากัน เนื่องจาก x = x

ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ค่าของ y ด้วย -2 ในสมการใดสมการหนึ่ง

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

ดังนั้นคำตอบของระบบนี้คือเซต S = {2,-2}

ดูด้วย: อะไรคือความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันและสมการ?

• วิธีการบวก

วิธีการบวกประกอบด้วยการคูณพจน์ทั้งหมดของสมการใดสมการหนึ่งในลักษณะที่เมื่อ การเพิ่มสมการ I เข้ากับสมการ II หนึ่งในค่าไม่ทราบค่าเท่ากับศูนย์.

ตัวอย่าง:

ขั้นตอนที่ 1: คูณสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้สัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม

สังเกตว่าถ้าเราคูณสมการ II ด้วย 2 เรามี 4y ในสมการ II และ -4y ในสมการ I และนั่นโดย เราบวก I + II เรามี 0y ลองคูณพจน์ทั้งหมดในสมการ II ด้วย 2 เพื่อให้ได้สิ่งนี้ เกิดขึ้น

ฉัน → 5x – 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

ขั้นตอนที่ 2: ดำเนินการรวม I + 2 · II

ขั้นตอนที่ 3: แทนที่ค่าของ x = 3 เป็นสมการใดสมการหนึ่ง

• ระบบเชิงเส้นตรงที่มีสมการดีกรีที่ 1 สามสมการและไม่ทราบค่า 3 ตัว

เมื่อระบบมีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก เราจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบอื่น วิธีการทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์กับเมทริกซ์ และวิธีการที่ใช้มากที่สุดคือกฎหรือมาตราส่วนของแครมเมอร์ สำหรับความละเอียดในทั้งสองวิธี จำเป็นต้องมีการแสดงเมทริกซ์ของระบบ แม้แต่ระบบ 2x2 ก็สามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ได้ มีสองรูปแบบที่เป็นไปได้คือเมทริกซ์ที่สมบูรณ์และเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์:

ตัวอย่าง:

ระบบ 

สามารถแสดงโดย เมทริกซ์แบบเต็ม

และสำหรับ เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์

• กฎของแครมเมอร์

เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบ 3x3 โดยไม่ทราบค่า x, y และ z โดยใช้ กฎของแครมเมอร์จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์และการแปรผันของเมทริกซ์ ดังนั้นเราต้อง:

D → ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ

ดี_x → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ x ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ

ดี_y → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ y ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ

ดี_z → ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ของระบบ แทนที่คอลัมน์ของ z ด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ

ดังนั้น ในการหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักของคุณ ก่อนอื่นเราต้องคำนวณ ดีเทอร์มิแนนต์ D, D_x, ดิ๊_y ที่เกี่ยวข้องกับระบบ

ตัวอย่าง:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณ D.

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณ D_x

ขั้นตอนที่ 3: แล้วเราสามารถหาค่าของ x ได้เพราะ:

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ D_ย.

ขั้นตอนที่ 5: จากนั้นเราสามารถคำนวณค่าของ y:

ขั้นตอนที่ 6: ตอนนี้เราทราบค่าของ x และ y แล้ว ในทั้งสองบรรทัด เราสามารถหาค่าของ z ได้โดยการแทนที่ค่าของ x และ y แล้วแยก z อีกทางเลือกหนึ่งคือการคำนวณ D_z.

การแทนที่ x = 0 และ y = 2 ในสมการแรก:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

ดังนั้น โซลูชันระบบคือการประกวดราคา (0.2,-1)

เข้าถึงด้วย: การแก้ปัญหาด้วยระบบสมการ

• มาตราส่วน

อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นตรงคือ มาตราส่วน ซึ่งเราใช้เมทริกซ์ที่สมบูรณ์และการดำเนินการระหว่างเส้นตรงเท่านั้นเพื่อแยกสิ่งที่ไม่ทราบออกมา มาปรับขนาดระบบด้านล่างกัน

ขั้นตอนที่ 1: เขียนเมทริกซ์ที่สมบูรณ์ที่แสดงถึงระบบ

เป็น L₁, หลี่₂ และหลี่₃ ตามลำดับบรรทัดที่ 1, 2 และ 3 ของเมทริกซ์ เราจะดำเนินการระหว่าง L₁ และหลี่₂ และหลี่₁ และหลี่₃เพื่อให้ผลลัพธ์ทำให้คำศัพท์ที่อยู่ในคอลัมน์แรกของแถวที่สองและสามมีค่าเท่ากับศูนย์

วิเคราะห์บรรทัดที่สองของเมทริกซ์ ลองแทนที่ด้วยผลลัพธ์ของ L2 → -2 · L1 + L2 เพื่อให้เทอม a21 เป็นศูนย์

₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

ดังนั้น L₂ จะเป็น 0 -3 7 -17

วิเคราะห์แถวที่สามของเมทริกซ์ แทนที่ด้วยผลลัพธ์ของ L3 → 3L1 + L_2, เพื่อรีเซ็ตเงื่อนไขเป็น_31.

₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

ดังนั้น L₃ จะเป็น 0 8 -8 24

สังเกตว่าทั้งหมดหารด้วย 8 ลงตัว ดังนั้นเส้น L₃ ให้มันง่าย หารด้วย 8

หลี่₃ → หลี่₃ : 8 จะเป็น: 0 1-1 3

ดังนั้นเมทริกซ์ใหม่ของสมการมาตราส่วนจะเป็น:

ตอนนี้เป้าหมายคือการรีเซ็ตคอลัมน์ y ในแถวที่สาม เราจะดำเนินการระหว่าง L₂ และหลี่₃โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อรีเซ็ตคอลัมน์ที่สองของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง

เราจะแทนที่ L3 ด้วย L3 → L₂ + 3L₃.

₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

โซโล₃ จะเป็น: 0 0 4 -8.

เมทริกซ์ที่ปรับขนาดใหม่จะเป็น:

ตอนนี้ เมื่อเราแสดงเมทริกซ์นี้เป็นระบบอีกครั้ง บวก x, y และ z ลงในคอลัมน์ เราจะพบสิ่งต่อไปนี้:

จากนั้นเราสามารถหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักได้ การวิเคราะห์สมการ III เราต้อง:

ถ้า z = -2 ลองแทนค่าของ z ลงในสมการที่สอง:

สุดท้าย ในสมการแรก ลองแทนค่าของ y และ z เพื่อหาค่าของ x

ดูด้วย: ระบบความไม่เท่าเทียมกันระดับที่ 1 – จะแก้ไขอย่างไร?

การจำแนกระบบเชิงเส้น

ระบบเชิงเส้นตรงคือชุดของสมการเชิงเส้น ซึ่งอาจมีหลายค่าที่ไม่ทราบค่าและหลายสมการ มีหลายวิธีในการแก้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนของสมการ มีสาม การให้คะแนน สำหรับระบบเชิงเส้น

• กำหนดระบบที่เป็นไปได้ (SPD): เมื่อคุณมีทางออกเดียว
• ระบบที่ไม่ทราบแน่ชัด (SPI): เมื่อมีคำตอบที่ไม่สิ้นสุด
• ระบบที่เป็นไปไม่ได้(เอสไอ): เมื่อไม่มีวิธีแก้ปัญหา

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 (IFG 2019) พิจารณาผลรวมของการวัดฐานและความสูงที่สัมพันธ์กับฐานของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับ 168 ซม. และส่วนต่างเท่ากับ 24 ซม. ถูกต้องที่จะระบุว่าการวัดฐานและความสูงสัมพันธ์กับการวัดฐานนี้ตามลำดับ:

ก) 72 ซม. และ 96 ซม.

ข) 144 ซม. และ 24 ซม.

ค) 96 ซม. และ 72 ซม.

ง) 24 ซม. และ 144 ซม.

ความละเอียด

ทางเลือก C

ให้ h → height และ b → base จากนั้นเราจะมีระบบดังต่อไปนี้:

โดยวิธีการบวกเราต้อง:

ในการหาค่าของ h ให้แทนที่ b = 96 cm ในสมการแรก:

b + h = 168

96 + ชั่วโมง = 168

ชั่วโมง = 168 - 96

ชั่วโมง = 72 ซม.

คำถาม2 เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งแสดงถึงระบบเชิงเส้นตรงต่อไปนี้คือ:

ความละเอียด

ทางเลือก C

เมทริกซ์ที่ไม่สมบูรณ์คือเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของ x, y และ z ดังนั้นมันจึงเป็นเมทริกซ์ขนาด 3x3 เมื่อวิเคราะห์ทางเลือกอื่น ตัวที่มีเมทริกซ์ 3x3 ที่มีเครื่องหมายถูกต้องคือตัวอักษร C

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm