ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนาม

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสำหรับ สมการพหุนาม รับประกันว่า "พหุนามทุกระดับ n≥ 1 มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก". ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้สร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ฟรีดริช เกาส์ ในปี ค.ศ. 1799 จากมัน เราสามารถสาธิต ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนามซึ่งรับประกันว่าพหุนามใดๆ สามารถแยกออกเป็นปัจจัยดีกรีหนึ่งได้ ใช้พหุนามต่อไปนี้ พี(x) ของเกรด n ≥ 1 และ_ไม่ ≠ 0:

p(x) = a_ไม่ x^ไม่ + ที่_n-1 x^n-1 + … + ที่₁x¹ + ที่₀

จากทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต เราสามารถระบุได้ว่าพหุนามนี้มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก ยู₁, ดังนั้น p(u₁) = 0. โอ ทฤษฎีบทของดาล็องแบร์ เพื่อ การแบ่งพหุนาม ระบุว่าถ้า p(u₁) = 0, แล้ว พี(x) หารด้วย (x - คุณ₁)ส่งผลให้เกิดผลหาร อะไร₁(x)ซึ่งเป็นพหุนามดีกรี (n - 1), ซึ่งทำให้เราต้องพูดว่า:

p (x) = (x - u₁). อะไร₁(x)

จากสมการนี้ จำเป็นต้องเน้นสองความเป็นไปได้:

ถ้าคุณ = 1 และ อะไร₁(x) เป็นพหุนามของดีกรี (n - 1)แล้ว อะไร₁(x) มีปริญญา 0. เป็นสัมประสิทธิ์ที่โดดเด่นของ พี(x) é _ไม่, อะไร₁(x) เป็นพหุนามคงที่ของ type อะไร₁(x)=_ไม่. ดังนั้นเราจึงมี:

p (x) = (x - u₁). อะไร₁(x)
(x) = (x - คุณ₁)._ไม่
p(x) = a_ไม่ . (x - คุณ₁)

แต่ถ้า คุณ ≥ 2แล้วพหุนาม อะไร₁ มีปริญญา น - 1 ≥ 1 และทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตถือ เราสามารถพูดได้ว่าพหุนาม อะไร₁ มีอย่างน้อยหนึ่งราก ไม่₂ซึ่งทำให้เราต้องพูดว่า อะไร₁ สามารถเขียนเป็น:

อะไร₁(x) = (x - คุณ₂). อะไร₂(x)

แต่ยังไง p (x) = (x - u₁). อะไร₁(x), เราสามารถเขียนใหม่เป็น:

p (x) = (x - u₁). (x - คุณ₂). อะไร₂(x)

ทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างต่อเนื่อง เราจะมี:

p(x) = a_ไม่. (x - คุณ₁). (x - คุณ₂) … (x – คุณ_ไม่)

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าทุกสมการพหุนามหรือพหุนาม p(x) = 0 ของเกรด n≥ 1 เป็นเจ้าของอย่างแน่นอน ไม่ รากที่ซับซ้อน​

ตัวอย่าง: เบ พี(x) พหุนามของดีกรี 5, ในลักษณะที่ว่ารากของมันคือ – 1, 2, 3, – 2 และ 4. เขียนพหุนามนี้ที่สลายตัวเป็นปัจจัยดีกรีที่ 1 โดยพิจารณาจาก สัมประสิทธิ์ที่โดดเด่น do เท่ากับ 1. จะต้องเขียนในรูปแบบขยาย:

ถ้า – 1, 2, 3, – 2 และ 4 เป็นรากของพหุนาม ดังนั้นผลคูณของผลต่างของ x สำหรับแต่ละรากเหล่านี้ส่งผลให้ พี(x):

p(x) = a_ไม่.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

ถ้าสัมประสิทธิ์เด่น _ไม่ = 1, เรามี:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12). (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

โดย Amanda Gonçalves
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm