ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสำหรับ สมการพหุนาม รับประกันว่า "พหุนามทุกระดับ n≥ 1 มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก". ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้สร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ฟรีดริช เกาส์ ในปี ค.ศ. 1799 จากมัน เราสามารถสาธิต ทฤษฎีบทการสลายตัวของพหุนามซึ่งรับประกันว่าพหุนามใดๆ สามารถแยกออกเป็นปัจจัยดีกรีหนึ่งได้ ใช้พหุนามต่อไปนี้ พี(x) ของเกรด n ≥ 1 และไม่ ≠ 0:
p(x) = aไม่ xไม่ + ที่n-1 xn-1 + … + ที่1x1 + ที่0
จากทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต เราสามารถระบุได้ว่าพหุนามนี้มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งราก ยู1, ดังนั้น p(u1) = 0. โอ ทฤษฎีบทของดาล็องแบร์ เพื่อ การแบ่งพหุนาม ระบุว่าถ้า p(u1) = 0, แล้ว พี(x) หารด้วย (x - คุณ1)ส่งผลให้เกิดผลหาร อะไร1(x)ซึ่งเป็นพหุนามดีกรี (n - 1), ซึ่งทำให้เราต้องพูดว่า:
p (x) = (x - u1). อะไร1(x)
จากสมการนี้ จำเป็นต้องเน้นสองความเป็นไปได้:
ถ้าคุณ = 1 และ อะไร1(x) เป็นพหุนามของดีกรี (n - 1)แล้ว อะไร1(x) มีปริญญา 0. เป็นสัมประสิทธิ์ที่โดดเด่นของ พี(x) é ไม่, อะไร1(x) เป็นพหุนามคงที่ของ type อะไร1(x)=ไม่. ดังนั้นเราจึงมี:
p (x) = (x - u1). อะไร1(x)
(x) = (x - คุณ1).ไม่
p(x) = aไม่ . (x - คุณ1)
แต่ถ้า คุณ ≥ 2แล้วพหุนาม อะไร1 มีปริญญา น - 1 ≥ 1 และทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตถือ เราสามารถพูดได้ว่าพหุนาม อะไร1 มีอย่างน้อยหนึ่งราก ไม่2ซึ่งทำให้เราต้องพูดว่า อะไร1 สามารถเขียนเป็น:
อะไร1(x) = (x - คุณ2). อะไร2(x)
แต่ยังไง p (x) = (x - u1). อะไร1(x), เราสามารถเขียนใหม่เป็น:
p (x) = (x - u1). (x - คุณ2). อะไร2(x)
ทำซ้ำขั้นตอนนี้อย่างต่อเนื่อง เราจะมี:
p(x) = aไม่. (x - คุณ1). (x - คุณ2) … (x – คุณไม่)
ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าทุกสมการพหุนามหรือพหุนาม p(x) = 0 ของเกรด n≥ 1 เป็นเจ้าของอย่างแน่นอน ไม่ รากที่ซับซ้อน |
ตัวอย่าง: เบ พี(x) พหุนามของดีกรี 5, ในลักษณะที่ว่ารากของมันคือ – 1, 2, 3, – 2 และ 4. เขียนพหุนามนี้ที่สลายตัวเป็นปัจจัยดีกรีที่ 1 โดยพิจารณาจาก สัมประสิทธิ์ที่โดดเด่น do เท่ากับ 1. จะต้องเขียนในรูปแบบขยาย:
ถ้า – 1, 2, 3, – 2 และ 4 เป็นรากของพหุนาม ดังนั้นผลคูณของผลต่างของ x สำหรับแต่ละรากเหล่านี้ส่งผลให้ พี(x):
p(x) = aไม่.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
ถ้าสัมประสิทธิ์เด่น ไม่ = 1, เรามี:
p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12). (x – 4)
p(x) = x5 – 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
โดย Amanda Gonçalves
จบคณิต
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm