รวมง่ายๆ มันคืออะไร สูตร แบบฝึกหัด

THE การผสมผสานที่เรียบง่าย เป็นหนึ่งในกลุ่มที่ศึกษาใน การวิเคราะห์เชิงผสม. เรารู้ว่าเป็นการรวมการนับของ เซตย่อยทั้งหมดของ k องค์ประกอบที่เราสร้างได้จากเซตของ ไม่ องค์ประกอบ.

เป็นเรื่องปกติที่จะเห็นสถานการณ์ที่เราใช้ชุดค่าผสม เช่น ในการคำนวณผลลัพธ์ทั้งหมด เป็นไปได้ในเกมลอตเตอรีหรือเกมโป๊กเกอร์และในสถานการณ์อื่น ๆ เช่นในการศึกษาความน่าจะเป็นและ สถิติ.

การจัดกลุ่มทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือการจัดเรียง สิ่งที่ทำให้การจัดเรียงแตกต่างจากการรวมกันคือความจริงที่ว่า ในการจัดเรียง ลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ และเมื่อรวมกันแล้ว ลำดับนั้นไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงเปรียบเทียบชุดค่าผสมกับตัวเลือกชุดย่อย

อ่านด้วย: หลักการพื้นฐานของการนับ - ใช้ในการหาปริมาณความเป็นไปได้

การรวมกันอย่างง่ายคืออะไร?

สูตรผสมอย่างง่าย

ในการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน จะศึกษาจำนวนกลุ่มที่เป็นไปได้ ในบรรดาการจัดกลุ่มเหล่านี้ มีสิ่งที่เรียกว่าการรวมกันอย่างง่าย ชุดค่าผสมที่เรียบง่ายไม่มีอะไรมากไปกว่า นับชุดย่อยทั้งหมดด้วย k องค์ประกอบของเซตที่กำหนดตัวอย่างเช่น: megassena ซึ่งสุ่มจับตัวเลข 6 ตัว

ในกรณีนี้ จะเห็นได้ว่าลำดับการเลือกตัวเลขทั้ง 6 ตัวนี้ไม่แตกต่างกัน กล่าวคือ

ลำดับไม่สำคัญซึ่งทำให้ผลลัพธ์นี้เป็นเซตย่อย คุณลักษณะนี้เป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจว่าชุดค่าผสมคืออะไรและเพื่อสร้างความแตกต่างจากการจัดกลุ่มอื่นๆ ในการรวมกัน ลำดับขององค์ประกอบของชุดค่าผสมไม่สำคัญ

สูตรผสมง่ายๆ

ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการรวมกันคำนวณโดยสูตร การรวมกันของ ไม่ องค์ประกอบที่นำมาจาก k ใน k é:

n → องค์ประกอบทั้งหมดในเซต

k → องค์ประกอบทั้งหมดในเซตย่อย

ดูด้วย: หลักการนับบวก - การรวมกันขององค์ประกอบของสองชุดขึ้นไป

วิธีการคำนวณชุดค่าผสม?

ในที่แรก, สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าเมื่อใดที่ปัญหาคือการรวมกัน. เพื่อแสดงให้เห็น ให้ค้นหาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ชุด {A, B, C, D} ที่มีสององค์ประกอบ:

รายการชุดค่าผสมที่มีสององค์ประกอบ ได้แก่ {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} และ {C, D} ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะเห็นว่ามีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 6 ชุด และควรสังเกตด้วยว่าชุดย่อย {A, B} และ {B, A} เท่ากัน เพราะในการรวมกัน ลำดับไม่สำคัญ .

ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้เสมอที่จะแสดงรายการชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือแม้แต่ไม่จำเป็นเช่น ที่น่าสนใจที่สุดคือจำนวนชุดค่าผสม และไม่ได้อยู่ในรายชื่อของแต่ละคน ด้วยเหตุนี้ การใช้สูตรจึงเป็นประโยชน์อย่างยิ่ง

ตัวอย่าง:

โรงเรียนจะจับฉลากสามใบสำหรับนักเรียนแต่ละคน หนึ่งใน 10 อันดับแรกของโอลิมปิกคณิตศาสตร์ หลังจากเสร็จสิ้นการทดสอบและรู้ตำแหน่ง 10 อันดับแรกแล้ว ให้คำนวณชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สำหรับผลการออกรางวัล

โปรดทราบว่าในผลการออกรางวัล ลำดับไม่สำคัญ ดังนั้นเราจึงกำลังดำเนินการกับปัญหาการรวมกัน

จากนั้นเราจะคำนวณการรวมกันของ 10 องค์ประกอบที่นำมาจาก 3 จาก 3 แทนที่ในสูตรเราต้อง:

ตอนนี้ เรามาทำให้แฟคทอเรียลอย่างง่ายกัน ณ จุดนี้ จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคำนวณของ the แฟกทอเรียล ของจำนวน ชอบ 10! มากกว่าแฟกทอเรียลใดๆ ในตัวส่วน, และ, เมื่อดูที่ตัวส่วน, 7! ตัวใหญ่ที่สุด ลองคูณ 10 ด้วยตัวก่อนหน้ากันจนกว่าจะถึง 7! เพื่อทำให้ง่ายขึ้น

สามเหลี่ยมปาสกาล

หนึ่งในเครื่องมือที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์เชิงผสม ส่วนใหญ่ใช้ในการคำนวณ a ทวินามของนิวตัน, คือสามเหลี่ยมของปาสกาล สามเหลี่ยมนี้คือ สร้างขึ้นจากผลลัพธ์ของการรวมกันอีกวิธีในการแสดงการรวมกันของตัวเลขสองตัวมีดังนี้:

สามเหลี่ยมของ Pascal เริ่มต้นที่แถว 0 และคอลัมน์ 0 โดยการรวม 0 องค์ประกอบที่นำมาจาก 0 ถึง 0 เส้นจะเหมือนกับ ไม่ และคอลัมน์เท่ากับ kเป็นรูปเป็นร่างดังนี้

แทนค่าที่เกิดจากชุดค่าผสม:

จากแถวและคอลัมน์ของสามเหลี่ยม Pascal เราสามารถหาค่าของชุดค่าผสมที่เราต้องการได้ หากจำเป็น เราสามารถค้นหาเงื่อนไขของบรรทัดได้มากเท่าที่ต้องการ หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหานี้ โปรดอ่านข้อความ: สามเหลี่ยมปาสกาล.

ความแตกต่างระหว่างการจัดเรียงและการรวมกัน

การจัดเรียงและการรวมกันเป็นกลุ่มที่มีความสำคัญเท่าเทียมกันสองกลุ่มที่ศึกษาในการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน จำเป็นต้องรู้ความแตกต่างระหว่างแต่ละกลุ่มเหล่านี้ นั่นคือถ้าเราจะคำนวณโดย การจัดหรือ หนึ่ง การรวมกัน.

ปรากฎว่าใน การรวมกัน เมื่อประกอบคลัสเตอร์ ลำดับขององค์ประกอบของชุดไม่สำคัญนั่นคือ {A, B} = {B, A} แต่มีบางกรณีที่ลำดับมีความสำคัญในการจัดกลุ่ม ในกรณีนี้ เรากำลังทำงานกับอาร์เรย์

ที่ การจัด, แล้ว ลำดับขององค์ประกอบต่างกันนั่นคือ {A, B} ≠ {B, A} ตัวอย่างของการจัดเรียงทั่วไปคือการคำนวณจำนวนวิธีที่เราสามารถสร้างแท่นของการแข่งขันที่กำหนดระหว่าง 10 คน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ลำดับมีความสำคัญ ซึ่งทำให้สามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรการจัดเตรียม นอกเหนือจากคำจำกัดความทางทฤษฎีแล้ว สูตรยังต่างกันและ สูตรการจัด é:

แบบฝึกหัดแก้ไข

คำถามที่ 1 – (ศัตรู) สิบสองทีมลงทะเบียนสำหรับการแข่งขันฟุตบอลสมัครเล่น เกมเปิดการแข่งขันถูกเลือกดังนี้: อันดับแรก 4 ทีมถูกดึงเข้าสู่กลุ่ม A จากนั้น ในบรรดาทีมในกลุ่ม A นั้น จับ 2 ทีมเพื่อเล่นเกมเปิดการแข่งขัน โดยทีมแรกจะเล่นในสนามของตัวเอง และทีมที่สองจะเป็นทีมเยือน จำนวนการเลือกทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับกลุ่ม A และจำนวนการเลือกทั้งหมดสำหรับทีมในเกมเปิดสามารถคำนวณได้โดยใช้

A) การรวมกันและการจัดเรียงตามลำดับ

B) การจัดเรียงและการรวมกันตามลำดับ

C) การจัดเรียงและการเรียงสับเปลี่ยนตามลำดับ

D) สองชุดค่าผสม

E) สองข้อตกลง

ความละเอียด

ทางเลือก A

เพื่อแยกความแตกต่างของการจัดเรียงและการรวมกัน จำเป็นต้องวิเคราะห์ว่าลำดับมีความสำคัญในการจัดกลุ่มหรือไม่ โปรดทราบว่าในการจัดกลุ่มแรก ลำดับไม่เกี่ยวข้อง เนื่องจากกลุ่ม A เกิดขึ้นจาก 4 ทีมที่สุ่มเลือกโดยไม่ขึ้นกับลำดับ กล่าวคือ มีการรวมกลุ่มก่อน

การวิเคราะห์การจัดกลุ่มที่สอง จะเห็นได้ว่าลำดับมีความสำคัญ เนื่องจากทีมแรกที่จะจับฉลากจะมีคำสั่งภาคสนาม ซึ่งทำให้การจัดกลุ่มนี้เป็นการจัดเตรียม

ด้วยวิธีนี้ ลำดับคือการผสมผสานและการจัดเรียง

คำถามที่ 2 - ครอบครัวที่ประกอบด้วยผู้ใหญ่ 7 คน หลังจากตัดสินใจแผนการเดินทางของพวกเขา ได้ปรึกษาเว็บไซต์ของสายการบินและพบว่าเที่ยวบินสำหรับวันที่เลือกนั้นใกล้จะเต็มแล้ว ในรูปที่ปรากฏบนเว็บไซต์ ที่นั่งว่างจะมีเครื่องหมาย X และที่นั่งว่างเพียงแห่งเดียวเป็นสีขาว

จำนวนวิธีต่างๆ ในการรองรับครอบครัวบนเที่ยวบินนี้คำนวณโดย:

ความละเอียด

ทางเลือก ข. ในการวิเคราะห์สถานการณ์ โปรดทราบว่าลำดับ กล่าวคือ สมาชิกในครอบครัวคนใดจะนั่งเก้าอี้ตัวไหนนั้นไม่เกี่ยวข้อง สิ่งที่สำคัญคือเก้าอี้นวม 7 ตัวที่ครอบครัวเลือก ดังนั้นเราจึงทำงานร่วมกับชุดค่าผสม มีที่นั่งว่าง 9 ที่นั่งและจะเลือก 7 ที่นั่ง ลองคำนวณชุดค่าผสมจาก 9 ถึง 7 กัน แทนที่ในสูตรเราต้อง:

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm