เมทริกซ์ผกผัน: มันคืออะไร, วิธีค้นหาแบบฝึกหัด

แนวคิดของ เมทริกซ์ผกผัน มาใกล้เคียงกับแนวคิดของการผกผันของจำนวน จำไว้ว่าการผกผันของตัวเลข ไม่ เป็นตัวเลข ไม่^-1โดยที่ผลคูณระหว่างทั้งสองมีค่าเท่ากับองค์ประกอบที่เป็นกลางของ การคูณนั่นคือหมายเลข 1 แล้ว ผกผันของเมทริกซ์ M คือเมทริกซ์ M^-1, ที่ผลิตภัณฑ์ M · M^-1 เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ I_ไม่ ซึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่าองค์ประกอบเป็นกลางของการคูณเมทริกซ์

เพื่อให้เมทริกซ์มีค่าผกผัน มันจะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และนอกจากนี้ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันต้องแตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้นจะไม่มีการผกผัน ในการหาเมทริกซ์ผกผัน เราใช้สมการเมทริกซ์

อ่านด้วยนะ: เมทริกซ์สามเหลี่ยม — เมทริกซ์สี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

เพื่อให้เมทริกซ์มีค่าผกผัน มันต้องเป็นกำลังสอง

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เพื่อให้เข้าใจว่าเมทริกซ์ผกผันคืออะไร ก่อนอื่นจำเป็นต้องรู้เมทริกซ์เอกลักษณ์ เรารู้ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์กำลังสอง I_ไม่ โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1 และอีกพจน์หนึ่งมีค่าเท่ากับ 0

THE เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณระหว่างเมทริกซ์, นั่นคือ, ให้ สำนักงานใหญ่ M ของลำดับ n ผลคูณระหว่างเมทริกซ์ M และเมทริกซ์ I_ไม่ เท่ากับเมทริกซ์ M

ม · ฉัน_ไม่ = เอ็ม

วิธีการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

ในการหาเมทริกซ์ผกผันของ M จำเป็นต้องแก้สมการเมทริกซ์:

 ม · ม^-1 = ฉัน_ไม่

ตัวอย่าง

หาเมทริกซ์ผกผันของ M

เนื่องจากเราไม่รู้จักเมทริกซ์ผกผัน ลองแทนเมทริกซ์นี้ด้วยพีชคณิต:

เรารู้ว่าผลคูณระหว่างเมทริกซ์เหล่านี้ต้องเท่ากับ I₂:

ทีนี้มาแก้สมการเมทริกซ์กัน:

สามารถแยกปัญหาออกเป็นสองส่วนได้ ระบบของ สมการ. อันแรกใช้คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ M ·M^-1 และคอลัมน์แรกของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้น เราต้อง:

เพื่อแก้ปัญหาระบบ ให้แยกs₂₁ ในสมการ II และแทนที่ในสมการ I

แทนที่ในสมการ I เราต้อง:

เราจะหาค่าของ a. ได้อย่างไร₁₁แล้วเราจะหาค่าของ a₂₁:

รู้ค่าของ a₂₁ และ₁₁ตอนนี้เราจะหาค่าของเงื่อนไขอื่นโดยการตั้งค่าระบบที่สอง:

การแยก₂₂ ในสมการ III เราต้อง:

ครั้งที่ 3₁₂ + ที่ 1₂₂ = 0

₂₂ = – ที่ 3₁₂

การแทนที่ในสมการ IV:

5th₁₂ + ที่ 2₂₂ =1

5th₁₂ + 2·( - ที่ 3 3₁₂) = 1

5th₁₂ – ที่ 6₁₂ = 1

- อะ₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

รู้ค่าของ a₁₂, เราจะหาค่าของ a₂₂ :

₂₂ = – ที่ 3₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

ตอนนี้เรารู้เงื่อนไขทั้งหมดของเมทริกซ์ M. แล้ว^-1เป็นไปได้ที่จะแสดง:

อ่านด้วย: การบวกลบเมทริกซ์

คุณสมบัติเมทริกซ์ผกผัน

มีคุณสมบัติที่เกิดจากการกำหนดเมทริกซ์ผกผัน

• ทรัพย์สินที่ 1: อินเวอร์สของเมทริกซ์ M^-1 เท่ากับเมทริกซ์ M อินเวอร์สของเมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ตัวมันเองเสมอ นั่นคือ (M^-1)^-1 = M เพราะเรารู้ว่า M^-1 · M = ฉัน_ไม่ดังนั้น M^-1 เป็นตัวผกผันของ M และ M เป็นตัวผกผันของ M^-1.
• ทรัพย์สินที่ 2: อินเวอร์สของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือตัวเอง: I^-1 = I เนื่องจากผลคูณของเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยตัวมันเองส่งผลให้เกิดเมทริกซ์เอกลักษณ์ นั่นคือ I_ไม่ · ผม_ไม่ = ฉัน_ไม่.
• ทรัพย์สินที่ 3: ผกผันของ ผลคูณของเมทริกซ์สองตัวคุณคือ เท่ากับผลคูณของอินเวอร์ส:

(ม×ส)^-1 = เอ็ม^-1 · อา^-1.

• ทรัพย์สินที่ 4: เมทริกซ์กำลังสองมีค่าผกผันก็ต่อเมื่อ ดีเทอร์มิแนนต์ แตกต่างจาก 0 นั่นคือ det(M) ≠ 0

แก้ไขแบบฝึกหัด

1) รับเมทริกซ์ A และเมทริกซ์ B โดยรู้ว่าพวกมันผกผัน ค่าของ x+y คือ:

ก) 2.

ข) 1.

ค) 0.

ง) -1.

จ) -2.

ความละเอียด:

ทางเลือก ง.

การสร้างสมการ:

A · B = ฉัน 

ในคอลัมน์ที่สอง เท่ากับเงื่อนไข เราต้อง:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

แยก x ออกเป็น I:

แทนที่ใน สมการ II เราต้อง:

เมื่อทราบค่าของ y เราจะพบค่าของ x:

ทีนี้มาคำนวณ x + y:

คำถาม2

เมทริกซ์มีค่าผกผันเมื่อดีเทอร์มีแนนต์แตกต่างจาก 0 เท่านั้น เมื่อดูเมทริกซ์ด้านล่าง ค่า x อะไรที่ทำให้เมทริกซ์ไม่รองรับผกผัน?

ก) 0 และ 1

ข) 1 และ 2

ค) 2 และ – 1

ง) 3 และ 0

จ) – 3 และ – 2

ความละเอียด:

ทางเลือกข.

การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของ A เราต้องการค่าโดยที่ det(A) = 0

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

การแก้ปัญหา สมการดีกรีที่ 2, เราต้อง:

• a = 1
• ข = – 3
• ค = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm