ลำดับตัวเลข: การจำแนกประเภทตัวอย่าง

ก ลำดับหมายเลข คือชุดตัวเลขที่จัดเรียงอย่างเป็นระเบียบ ลำดับตัวเลขสามารถประกอบได้โดยใช้เกณฑ์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนคู่หรือลำดับทวีคูณของ 3 เมื่อเราสามารถอธิบายเกณฑ์นี้ด้วยสูตร เราจะเรียกสูตรนี้ว่ากฎแห่งการก่อตัวของลำดับตัวเลข

อ่านด้วย: ความแตกต่างระหว่างตัวเลข ตัวเลข และตัวเลข

สรุปเกี่ยวกับลำดับตัวเลข

• ลำดับตัวเลขคือรายการตัวเลขที่จัดเรียงตามลำดับ

• ลำดับตัวเลขอาจเป็นไปตามเกณฑ์ที่ต่างกัน

• กฎการเกิดขึ้นของลำดับตัวเลขคือรายการองค์ประกอบที่มีอยู่ในลำดับ

• ลำดับสามารถจำแนกได้สองวิธี รายการหนึ่งคำนึงถึงจำนวนองค์ประกอบ และอีกรายการคำนึงถึงพฤติกรรม

• สำหรับจำนวนองค์ประกอบ ลำดับอาจเป็นแบบจำกัดหรืออนันต์ก็ได้

• ในส่วนของพฤติกรรมนั้น ลำดับสามารถเพิ่มขึ้น คงที่ ลดลง หรือแกว่งไปมาได้

• เมื่อลำดับตัวเลขสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ สมการนี้เรียกว่ากฎการก่อตัวของลำดับตัวเลข

ลำดับคืออะไร?

ลำดับคือ ชุดขององค์ประกอบที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน. ในชีวิตประจำวันของเรา เราสามารถรับรู้สถานการณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับลำดับ:

• ลำดับเดือน: มกราคม กุมภาพันธ์ มีนาคม เมษายน... ธันวาคม

• ลำดับปีของฟุตบอลโลก 5 ครั้งแรกของศตวรรษที่ 21: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

มีลำดับที่เป็นไปได้อื่นๆ อีกหลายลำดับ เช่น ลำดับชื่อ หรือลำดับอายุ เมื่อใดก็ตามที่มีการสั่งการ มันก็ย่อมมีลำดับ.

องค์ประกอบของแต่ละลำดับเรียกว่า เทอมของลำดับ ดังนั้นในลำดับจึงประกอบด้วยเทอมที่ 1 เทอมที่ 2 และอื่นๆ โดยทั่วไป, ลำดับสามารถแสดงได้โดย:

\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)

• \(ถึง 1\) → เทอมแรก

• \(a_2\) → เทอมที่สอง

• \(a_3\) → เทอมที่สาม

• \(หนึ่ง\) → คำศัพท์ใดๆ

กฎการเกิดขึ้นของลำดับตัวเลข

เราสามารถมีลำดับขององค์ประกอบต่างๆ ได้ เช่น เดือน ชื่อ วันในสัปดาห์ และอื่นๆ กลำดับเป็นลำดับตัวเลขเมื่อมันเกี่ยวข้องกับตัวเลข. เราสามารถสร้างลำดับของเลขคู่ เลขคี่ จำนวนเฉพาะ, ผลคูณของ 5 เป็นต้น

ลำดับถูกแสดงโดยใช้กฎการเกิดขึ้น กฎแห่งการเกิดขึ้นไม่มีอะไรมากไปกว่ารายการองค์ประกอบของลำดับตัวเลข.

ตัวอย่าง:

• (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → ลำดับเลขคี่ตั้งแต่ 1 ถึง 15

• (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → ลำดับของตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5

• (-1, 1, -1, 1, -1, 1) → ลำดับสลับระหว่าง 1 ถึง -1

การจำแนกลำดับตัวเลขคืออะไร?

เราสามารถจำแนกลำดับได้สองวิธี หนึ่งในนั้นคำนึงถึงจำนวนองค์ประกอบ และอีกอันคำนึงถึงพฤติกรรมขององค์ประกอบเหล่านี้

→ การจำแนกลำดับตัวเลขตามจำนวนองค์ประกอบ

เมื่อเราจำแนกลำดับตามจำนวนองค์ประกอบ มีการจำแนกประเภทที่เป็นไปได้สองแบบ: ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์

◦ ลำดับจำนวนจำกัด

ลำดับจะมีขอบเขตจำกัดหากมีองค์ประกอบจำนวนจำกัด

ตัวอย่าง:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

• (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

• (-4, -6, -8, -10, -12)

◦ ลำดับจำนวนอนันต์

ลำดับจะไม่มีที่สิ้นสุดหากมีองค์ประกอบไม่จำกัดจำนวน

ตัวอย่าง:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)

• (3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)

• ( -1, 2, -4, 8, -16, ...)

→ การจำแนกประเภทของลำดับตัวเลขตามพฤติกรรมของลำดับ

อีกวิธีในการจำแนกประเภทคือตามพฤติกรรมตามลำดับ ในกรณีนี้ ลำดับสามารถเพิ่ม คงที่ แกว่ง หรือลดลงได้

◦ ลำดับจำนวนที่เพิ่มขึ้น

ลำดับจะเพิ่มขึ้นหากคำนั้นมากกว่าคำก่อนหน้าเสมอ

ตัวอย่าง:

• (1, 5, 9, 13, 17, ...)

• (10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)

◦ ลำดับจำนวนคงที่

ลำดับจะคงที่เมื่อทุกพจน์มีค่าเท่ากัน

ตัวอย่าง:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

• (-1, -1, -1, -1, -1, ...)

◦ ลำดับหมายเลขจากมากไปน้อย

ลำดับจะลดลงถ้าเงื่อนไขในลำดับมีขนาดเล็กกว่ารุ่นก่อนเสมอ

ตัวอย่าง:

• (-1, -2, -3, -4, -5, ...)

• (19, 16, 13, 10, 8, ...)

◦ ลำดับตัวเลขที่สั่น

ลำดับจะแกว่งไปมาหากมีพจน์ที่มากกว่าคำก่อนหน้าและมีพจน์ที่เล็กกว่าคำก่อนหน้าสลับกัน

ตัวอย่าง:

• (1, -3, 9, -27, 81, ...)

• (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)

กฎแห่งการก่อตัวของลำดับตัวเลข

ในบางกรณี อาจเป็นไปได้ที่จะอธิบายลำดับโดยใช้สูตรอย่างไรก็ตาม เรื่องนี้ไม่สามารถทำได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนเฉพาะเป็นลำดับที่กำหนดไว้อย่างดี อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถอธิบายโดยใช้สูตรได้ เมื่อทราบสูตรแล้ว เราก็สามารถสร้างกฎการเกิดลำดับตัวเลขได้

• ตัวอย่างที่ 1:

ลำดับของจำนวนคู่ที่มากกว่าศูนย์

\(a_n=2n\)

โปรดทราบว่าเมื่อเปลี่ยน n สำหรับหนึ่ง จำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, 4, ...) เราจะพบเลขคู่:

\(a_1=2⋅1=2\)

\(a_2=2⋅2=4\)

\(a_3=2⋅3=6\)

\(a_4=2⋅4=8\)

ดังนั้นเราจึงมีสูตรที่สร้างเงื่อนไขของลำดับที่เกิดจากเลขคู่ที่มากกว่าศูนย์:

(2, 4, 6, 8, ...)

• ตัวอย่างที่ 2:

ลำดับของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 4

\(a_n=4+n\)

การคำนวณเงื่อนไขของลำดับเรามี:

\(a_1=4+1=5\)

\(a_2=4+2=6\)

\(a_3=4+3=7\)

\(a_4=4+4=8\)

การเขียนกฎแห่งการเกิดขึ้น:

(5, 6, 7, 8,…)

ดูด้วย: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ — กรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

แก้แบบฝึกหัดตามลำดับตัวเลข

คำถามที่ 1

ลำดับตัวเลขมีกฎการก่อตัวเท่ากับ \(a_n=n^2+1\). จากการวิเคราะห์ลำดับนี้ เราสามารถระบุได้ว่าค่าของเทอมที่ 5 ของลำดับจะเป็น:

ก) 6

ข) 10

ค) 11

ง) 25

จ) 26

ปณิธาน:

อัลเทอร์เนทีฟ อี

เมื่อคำนวณค่าของเทอมที่ 5 ของลำดับเราจะได้:

\(a_5=5^2+1\)

\(a_5=25+1\)

\(a_5=26\)

คำถามที่ 2

วิเคราะห์ลำดับตัวเลขต่อไปนี้:

ฉัน. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

ครั้งที่สอง (13, 13, 13, 13, 13, ...)

สาม. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

เราสามารถระบุได้ว่าลำดับ I, II และ III ถูกจำแนกตามลำดับเป็น:

ก) การเพิ่มขึ้น การสั่น และการลดลง

B) ลดลง เพิ่มขึ้น และแกว่งไปมา

C) การสั่น คงที่ และเพิ่มขึ้น

D) ลดลง สั่น และคงที่

E) การสั่น ลดลง และเพิ่มขึ้น

ปณิธาน:

ทางเลือก C

การวิเคราะห์ลำดับเราสามารถระบุได้ว่า:

ฉัน. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

มันผันผวนเนื่องจากมีเงื่อนไขที่ใหญ่กว่ารุ่นก่อนและเงื่อนไขที่เล็กกว่ารุ่นก่อน

ครั้งที่สอง (13, 13, 13, 13, 13, ...)

เป็นค่าคงที่เนื่องจากเงื่อนไขของลำดับจะเหมือนกันเสมอ

สาม. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

มันกำลังเพิ่มมากขึ้น เนื่องจากข้อกำหนดมีขนาดใหญ่กว่ารุ่นก่อนๆ เสมอ