ก การรูต เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับการบวก ลบ การคูณ การหาร และศักยภาพ ในทำนองเดียวกับที่การลบเป็นการดำเนินการผกผันของการบวกและการหารเป็นการผกผันของการคูณ การแผ่รังสีเป็นการดำเนินการผกผันของศักยภาพ ดังนั้น สำหรับค่าบวกจริง x และ y และจำนวนเต็ม n (มากกว่าหรือเท่ากับ 2) ถ้า x ยกขึ้นเป็น n เท่ากับ y เราก็บอกได้ว่ารากที่ n ของ y เท่ากับ x ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์: \(x^n=y\ลูกศรขวา\sqrt[n]{y}=x\).
อ่านด้วย:ศักยภาพและการแผ่รังสีของเศษส่วน — ทำอย่างไร?
สรุปเกี่ยวกับการรูท
การรูตเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
การแผ่รังสีและศักยภาพเป็นการดำเนินการผกผัน นั่นคือสำหรับค่าบวก x และ y \(x^n=y\ลูกศรขวา\sqrt[n]{y}=x\).
การคำนวณรากที่ n ของตัวเลข y หมายถึงการค้นหาตัวเลข x โดยที่ x ยกขึ้นเป็น n เท่ากับ y
การอ่านรูทขึ้นอยู่กับดัชนี n ถ้า n = 2 เราจะเรียกมันว่ารากที่สอง และถ้า n = 3 เราจะเรียกมันว่ารากที่สาม
ในการดำเนินการกับราก เราใช้คำที่มีดัชนีเดียวกัน
การแผ่รังสีมีคุณสมบัติสำคัญที่เอื้อต่อการคำนวณ
บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับการรูท
การเป็นตัวแทนของราก
เพื่อเป็นตัวแทนของการรูต เราต้องพิจารณาองค์ประกอบทั้งสามที่เกี่ยวข้อง: Radicand ดัชนี และรูท สัญลักษณ์ \(√\) เรียกว่าหัวรุนแรง
\(\sqrt[n]{y}=x\)
ในตัวอย่างนี้ y คือตัวถูกถอดราก n คือดัชนี และ x คือราก. อ่านว่า “รากที่ n ของ y คือ x” ในขณะที่ x และ y แทนจำนวนจริงบวก n แทนจำนวนเต็มเท่ากับหรือมากกว่า 2 สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าสำหรับ n = 2 ดัชนีสามารถละเว้นได้ ตัวอย่างเช่น \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
เราสามารถแสดงการแผ่รังสีได้โดยใช้ตัวถูกถอดกรณฑ์ที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน. อย่างเป็นทางการเราพูดว่ารากที่ n ของ \(ใช่^ม\) สามารถเขียนเป็น y ยกกำลังเศษส่วนได้ \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
ดูตัวอย่าง:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
ความแตกต่างระหว่างการแผ่รังสีและศักยภาพ
ศักยภาพและการแผ่รังสี เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผัน. ซึ่งหมายความว่าถ้า \(x^n=y\), แล้ว \(\sqrt[n]{y}=x\). ดูเหมือนยาก? ลองดูตัวอย่างบางส่วน
ถ้า \(3^2=9\), แล้ว \(\sqrt[2]{9}=3\).
ถ้า \(2^3=8\), แล้ว \(\sqrt[3]{8}=2\).
ถ้า \(5^4=625\), แล้ว \(\sqrt[4]{625}=5\).
จะอ่านรูทได้อย่างไร?
หากต้องการอ่านรูท เราต้องพิจารณาดัชนี n. ถ้า n = 2 เราเรียกมันว่าสแควร์รูท. ถ้า n = 3 เราเรียกมันว่ารากที่สาม สำหรับค่าของ n ใหญ่กว่านั้น เราใช้ระบบการตั้งชื่อสำหรับเลขลำดับ: รูตที่สี่ (ถ้า n = 4), รูทที่ห้า (ถ้า n = 5) และอื่นๆ ดูตัวอย่างบางส่วน:
\(\sqrt[2]{9}\) – รากที่สองของ 9
\(\sqrt[3]{8}\) – รากที่สามของ 8
\(\sqrt[4]{625}\) – รากที่สี่ของ 625.
วิธีการคำนวณรากของตัวเลข?
เราจะดูวิธีการคำนวณรากของจำนวนจริงบวกด้านล่าง เพื่อคำนวณรากของตัวเลขเราต้องพิจารณาการดำเนินการผกผันที่เกี่ยวข้อง นั่นคือ ถ้าเรามองหารากที่ n ของตัวเลข y เราจะต้องมองหาตัวเลข x แบบนั้น \(x^n=y\).
กระบวนการนี้อาจง่ายหรือลำบาก ขึ้นอยู่กับค่า y (นั่นคือ ตัวถูกถอดกรณฑ์) มาดูตัวอย่างวิธีคำนวณรากของตัวเลขกัน
ตัวอย่างที่ 1:
รากที่สองของ 144 คืออะไร?
ปณิธาน:
ลองโทรไปยังหมายเลขที่เรากำลังมองหา x นั่นคือ \(\sqrt{144}=x\). โปรดทราบว่านี่หมายถึงการค้นหาตัวเลข x เช่นนั้น \(x^2=144\). มาทดสอบความเป็นไปได้ด้วยจำนวนธรรมชาติกัน:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
ดังนั้น, \(\sqrt{144}=12\).
ตัวอย่างที่ 2:
รากที่สามของ 100 คืออะไร?
ปณิธาน:
ลองโทรไปยังหมายเลขที่เรากำลังมองหา x นั่นคือ \(\sqrt[3]{100}=x\). นี่หมายความว่า \(x^3=100\). มาทดสอบความเป็นไปได้กัน:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
โปรดทราบว่าเรากำลังมองหาตัวเลขที่อยู่ระหว่าง 4 ถึง 5 เช่น \(4^3=64\) มันคือ \(5^3=125\). เรามาทดสอบความเป็นไปได้ด้วยตัวเลขระหว่าง 4 ถึง 5 กัน:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
เช่น \(4,6^3 \) เป็นจำนวนที่ใกล้เคียงและน้อยกว่า 100 เราสามารถพูดได้ว่า 4.6 เป็นการประมาณค่ารากที่สามของ 100 ดังนั้น, \(\sqrt[3]{100}µ4.6\).
สำคัญ:เมื่อรากเป็นจำนวนตรรกยะ เราจะบอกว่ารากเป็นจำนวนที่แน่นอน มิฉะนั้นรากจะไม่แน่นอน ในตัวอย่างข้างต้น เรากำหนดช่วงระหว่างรากที่แน่นอนซึ่งพบรากที่ค้นหา:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
กลยุทธ์นี้มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณการประมาณราก
การดำเนินการกับอนุมูล
ในการดำเนินการกับราก เราใช้คำที่มีดัชนีเดียวกัน เมื่อพิจารณาเรื่องนี้ โปรดอ่านข้อมูลต่อไปนี้อย่างละเอียด
→ การบวกและการลบระหว่างอนุมูล
ในการแก้การบวกหรือการลบระหว่างราก เราต้องคำนวณรากของรากแต่ละอันแยกกัน
ตัวอย่าง:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
สำคัญ: ไม่สามารถดำเนินการบวกและลบเครื่องหมายรากได้ โปรดทราบว่า ตัวอย่างเช่น การดำเนินการ \(\sqrt4+\sqrt9\) ส่งผลให้เกิดจำนวนที่แตกต่างกัน \(\sqrt{13}\)แม้ว่า \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}µ3.6\)
→ การคูณและการหารระหว่างอนุมูล
ในการแก้การคูณหรือการหารระหว่างราก เราสามารถคำนวณรากของรากแต่ละอันแยกกัน แต่เราสามารถใช้คุณสมบัติการแผ่รังสีได้เช่นกัน ซึ่งเราจะดูด้านล่าง
ตัวอย่าง:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}\sqrt[3]{64}=8۞4=2\)
คุณสมบัติของรังสีมีอะไรบ้าง?
→ คุณสมบัติ 1 ของการแผ่รังสี
ถ้า y เป็นจำนวนบวก แล้วรากที่ n ของ \(ใช่^n\) เท่ากับ y
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
ดูตัวอย่าง:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
คุณสมบัตินี้มักใช้เพื่อทำให้นิพจน์ที่มีรากง่ายขึ้น
→ คุณสมบัติ 2 ของการแผ่รังสี
รากที่ n ของผลิตภัณฑ์ \(y⋅z\) เท่ากับผลคูณของรากที่ n ของ y และ z
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
ดูตัวอย่าง:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
สำคัญ: เมื่อเราคำนวณรากของจำนวนมากจะมีประโยชน์มาก แยกตัวประกอบ (สลายตัว) ตัวถูกถอดกรณฑ์ให้เป็นจำนวนเฉพาะ และใช้คุณสมบัติ 1 และ 2 ดูตัวอย่างต่อไปนี้ ซึ่งเราต้องการคำนวณ \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
แบบนี้,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ คุณสมบัติ 3ของการรูท
รากที่ n ของผลหาร \(\frac{y}z\), กับ \(z≠0\), เท่ากับผลหารของรากที่ n ของ y และ z
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
ดูตัวอย่าง:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ คุณสมบัติ 4 ของการแผ่รังสี
รากที่ n ของ y ยกให้เป็นเลขชี้กำลัง m เท่ากับรากที่ n ของ \(ใช่^ม\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
ดูตัวอย่าง:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
ดูด้วย: คุณสมบัติของศักยภาพคืออะไร?
แก้ไขการออกกำลังกายเกี่ยวกับการฉายรังสี
คำถามที่ 1
(FGV) ทำให้ง่ายขึ้น \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), คุณได้รับ:
ก) 0
ข) - 23
ค) - 43
ง) - 63
ง) - 83
ปณิธาน:
ทางเลือก C
โปรดทราบว่าเราใช้คุณสมบัติการแผ่รังสี
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนนิพจน์ของประโยคใหม่ได้เป็น
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
ใส่คำว่า \(\sqrt3\) หลักฐานเราก็สรุปได้ว่า
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
คำถามที่ 2
(เซเฟต) เราควรคูณเลข 0.75 ด้วยจำนวนใดจึงจะได้รากที่สองของผลิตภัณฑ์ที่ได้เท่ากับ 45?
ก) 2700
บ) 2800
ค) 2900
ง) 3000
ปณิธาน:
ทางเลือก A
จำนวนที่ต้องการคือ x ดังนั้น ตามคำกล่าวที่ว่า
\(\sqrt{0.75⋅x}=45\)
ดังนั้น,
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0.75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
