หลายหลากของราก

ในการแก้สมการดีกรีที่ 2 x² – 6x + 9 = 0 เราพบสองรากเท่ากับ 3 โดยใช้ทฤษฎีบทการสลายตัว เราแยกตัวประกอบพหุนามและรับ:
x² – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)²
ในกรณีนี้ เราบอกว่า 3 เป็นรากของหลายหลาก 2 หรือรากที่สองของสมการ
ดังนั้น หากพหุนามแยกตัวประกอบให้ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ต่อไปนี้:

เราสามารถพูดได้ว่า:
x = -5 คือรูตที่มีการคูณ 3 หรือรูทสามเท่าของสมการ p (x) = 0
x = -4 คือรูทที่มีหลายหลาก 2 หรือรูทคู่ของสมการ p (x) = 0
x = 2 คือรูทที่มีการคูณ 1 หรือรูทอย่างง่ายของสมการ p (x) = 0
โดยทั่วไป เราบอกว่า r เป็นรากของหลายหลาก n โดยที่ n ≥ 1 ของสมการ p (x) = 0 ถ้า:

โปรดทราบว่า p(x) หารด้วย (x – r) ลงตัว^ม และเงื่อนไข q(r) ≠ 0 หมายความว่า r ไม่ใช่รากของ q(x) และรับประกันว่าหลายหลากของราก r จะไม่มากกว่า m
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ x⁴ – 9x³ + 23x² – 3x – 36 = 0 โดยที่ 3 เป็นรากที่สอง
วิธีแก้ไข: พิจารณา p(x) เป็นพหุนามที่กำหนด ดังนั้น:

สังเกตว่า q(x) ได้มาจากการหาร p(x) ด้วย (x – 3)².
โดยการหารด้วยอุปกรณ์ที่ใช้งานได้จริงของ Briot-Ruffini เราได้รับ:

หลังจากทำการหาร เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม q(x) คือ 1, -3 และ -4 ดังนั้น q (x) = 0 จะเป็น: x

² – 3x – 4 = 0
ลองแก้สมการข้างบนเพื่อหารากอื่นกัน
x² – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 หรือ x = 4
ดังนั้น S = {-1, 3, 4}
ตัวอย่างที่ 2 เขียนสมการพีชคณิตของดีกรีขั้นต่ำ โดยที่ 2 เป็นรากที่สอง และ – 1 เป็นรากเดียว
วิธีแก้ไข: เราต้อง:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
หรือ

โดย มาร์เซโล ริโกนาตโต
ผู้เชี่ยวชาญด้านสถิติและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ทีมโรงเรียนบราซิล

พหุนาม - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm