ความก้าวหน้า: มันคืออะไร ประเภท สูตร ตัวอย่าง

เรารู้วิธี ความก้าวหน้า กรณีพิเศษของ ลำดับตัวเลข. มีสองกรณีของความคืบหน้า:

• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เพื่อที่จะก้าวหน้า เราต้องวิเคราะห์ลักษณะของลำดับว่ามีเหตุผลหรือไม่ เมื่อความก้าวหน้าคือ เลขคณิต เหตุผลไม่มีอะไรมากไปกว่าค่าคงที่ที่เราเพิ่มให้กับคำศัพท์เพื่อค้นหาตัวตายตัวแทนในลำดับ ตอนนี้เมื่อทำงานกับความก้าวหน้า เรขาคณิตเหตุผลมีหน้าที่คล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้ เหตุผลเท่านั้นคือพจน์คงที่โดยที่เราคูณเทอมในลำดับเพื่อหาตัวตายตัวแทน

เนื่องจาก พฤติกรรมที่คาดเดาได้ ของความก้าวหน้า มีสูตรเฉพาะสำหรับการค้นหาคำศัพท์ใด ๆ ในลำดับเหล่านี้ และยังเป็นไปได้ที่จะพัฒนา a สูตรสำหรับแต่ละของพวกเขา (นั่นคือหนึ่งสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และอีกหนึ่งสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) เพื่อคำนวณผลรวม จากไม่ เงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้

อ่านด้วย: ฟังก์ชั่น - มันคืออะไรและมีไว้เพื่ออะไร?

ปริมาณถั่วต่อการเก็บเกี่ยวมีลักษณะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับเลข

เพื่อให้เข้าใจว่าความก้าวหน้าคืออะไร เราต้องเข้าใจก่อนว่ามันคืออะไร ลำดับตัวเลข. ตามที่ชื่อบอก เรารู้ลำดับตัวเลข a number ชุดตัวเลขที่เคารพลำดับ กำหนดไว้ชัดเจนหรือไม่

. ไม่เหมือนกับ ชุด ตัวเลขที่ลำดับไม่สำคัญ ในลำดับตัวเลข ลำดับเป็นสิ่งสำคัญ ตัวอย่างเช่น

ลำดับ (1, 2, 3, 4, 5) แตกต่างจาก (5, 4, 3, 2, 1) ซึ่งแตกต่างจากลำดับ (1, 5, 4, 3, 2) แม้ว่าองค์ประกอบจะเหมือนกัน เนื่องจากลำดับต่างกัน เราจึงมีลำดับต่างกัน

ตัวอย่าง:

เราสามารถเขียนลำดับการก่อตัวที่มองเห็นได้ง่าย:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → ลำดับของเลขคู่ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 12

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → ลำดับถดถอยของเลขคี่ตั้งแต่ 17 ถึง 5

ค) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → เรียกว่า ลำดับฟีโบนักชี.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายลำดับนี้เหมือนกับลำดับอื่นๆ แต่ก็ง่ายที่จะคาดเดาว่าคำถัดไปจะเป็นอย่างไร

ในกรณีอื่นๆ ลำดับสามารถมีค่าสุ่มทั้งหมดในค่าของมันไม่ว่าในกรณีใด การจะเป็นลำดับ สิ่งสำคัญคือการมีชุดของค่าที่เรียงลำดับ

ถึง 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

ข) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

เท่าที่เป็นไปไม่ได้ที่จะคาดเดาว่าใครคือคนต่อไปในตัวอักษร b เรายังคงทำงานกับผลสืบเนื่อง

โดยทั่วไปแล้ว สตริงจะแสดงในวงเล็บเสมอ ( ), ด้วยวิธีต่อไปนี้:

(ดิ₁, แ₂,ดิ₃, แ₄,ดิ₅, แ₆, แ₇, แ₈ …) → ลำดับอนันต์

(ดิ₁, แ₂,ดิ₃, แ₄,ดิ₅, แ₆, แ₇, แ₈ … แ_ไม่) → ลำดับจำกัด

ในทั้งสองอย่าง เรามีการแสดงดังต่อไปนี้:

ดิ₁ → เทอมแรก

ดิ₂ → เทอมที่สอง second

ดิ₃ → เทอมที่สาม

.

.

.

ดิ_ไม่ → เทอมที่ n

การสังเกต: เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่เมื่อแสดงลำดับ ข้อมูลจะอยู่ในวงเล็บ สัญกรณ์ลำดับมักจะสับสนกับสัญกรณ์ชุด ชุดจะแสดงด้วยวงเล็บปีกกา และในชุดคำสั่งไม่สำคัญ ซึ่งทำให้แตกต่างในกรณีนี้

(1, 2, 3, 4, 5) → ลำดับ

{1, 2, 3, 4, 5} → ตั้งค่า

มีบางกรณีของลำดับที่เรียกว่าความก้าวหน้า

ดูด้วย: หลักการพื้นฐานของการนับคืออะไร?

ความก้าวหน้าคืออะไร?

ลำดับถูกกำหนดเป็นความก้าวหน้าเมื่อมี a ความสม่ำเสมอจากเทอมหนึ่งไปอีกเทอมหนึ่งเรียกว่าเหตุผล มีสองกรณีของความก้าวหน้า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หากต้องการทราบวิธีแยกแยะความแตกต่างแต่ละข้อ เราต้องเข้าใจว่าสาเหตุของความก้าวหน้าคืออะไรและเหตุผลนั้นมีปฏิสัมพันธ์กับเงื่อนไขของลำดับอย่างไร

เมื่อ จากพจน์หนึ่งไปยังอีกพจน์หนึ่งในลำดับ ฉันมี a ผลรวมคงที่ลำดับนี้ถูกกำหนดให้เป็นความก้าวหน้า และในกรณีนี้คือ a ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์. ค่าที่เราเพิ่มอย่างต่อเนื่องนี้เรียกว่าอัตราส่วน อีกกรณีหนึ่ง กล่าวคือ เมื่อลำดับคือ a ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจากเทอมหนึ่งไปอีกเทอมหนึ่งจะมี a การคูณด้วยค่าคงที่ ในทำนองเดียวกัน ค่านี้คืออัตราส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวอย่าง:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → สังเกตว่าเราบวก 3 จากเทอมหนึ่งไปยังอีกเทอมหนึ่งเสมอ ดังนั้นเราจึงมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วนเท่ากับ 3

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → ในกรณีนี้ เราจะคูณด้วย 10 จากเทอมหนึ่งไปยังอีกเทอมหนึ่งเสมอ โดยจะจัดการกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน 10

c) (0, 2, 8, 26 …) → ในกรณีหลัง มีเพียงลำดับเดียวเท่านั้น ในการหาเทอมถัดไป เราคูณเทอมด้วย 3 แล้วบวก 2 กรณีนี้ แม้ว่าจะมีความสม่ำเสมอในการหาคำศัพท์ถัดไป แต่ก็เป็นเพียงลำดับ ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เมื่อเราทำงานกับลำดับตัวเลข ลำดับเหล่านั้นซึ่งเราสามารถทำนายเทอมถัดไปได้ค่อนข้างซ้ำซาก เพื่อให้ลำดับนี้จัดอยู่ในประเภท a ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, จะต้องมี เหตุผล ก. จากเทอมแรก เทอมต่อไปคือ สร้างโดยผลรวมของภาคที่แล้วพร้อมเหตุผล r.

ตัวอย่าง:

ก) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

นี่คือลำดับที่สามารถจัดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้เพราะเหตุผล r = 3 และเทอมแรกคือ 4

ข) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

ลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเหตุผลที่ดี r = -5 และเทอมแรกคือ 7

• ข้อกำหนดของ PA

ในหลายกรณี ความสนใจของเราคือการหาคำศัพท์เฉพาะในการดำเนินการ โดยไม่ต้องเขียนลำดับทั้งหมด เมื่อทราบค่าของเทอมแรกและอัตราส่วน คุณจะสามารถหาค่าของเทอมใดๆ ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ ในการหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางแอริเมติก เราใช้สูตร:

ดิ_ไม่ = the₁+ (n - 1)r

ตัวอย่าง:

ค้นหาเทอมที่ 25 ของ P.A ที่มีอัตราส่วน 3 และเทอมแรกคือ 12

ข้อมูล r = 3,₁ = 12. เราต้องการหาพจน์ที่ 25 นั่นคือ n = 25

ดิ_ไม่ = the₁+ (n - 1)r

ดิ₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

ดิ₂₅ = 12 + 24 · 3

ดิ₂₅ = 12 + 72

ดิ₂₅ = 84

• เงื่อนไขทั่วไปของป.

สูตรคำทั่วไปคือ a วิธีลดความซับซ้อนของสูตรของเทอม AP เพื่อค้นหาระยะความก้าวหน้าอย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น เมื่อทราบเทอมแรกและเหตุผลแล้ว ก็เพียงพอที่จะแทนที่ในสูตรด้วยเงื่อนไขของ ป.ป.ช. เพื่อหาเทอมทั่วไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ ไม่.

ตัวอย่าง:

ค้นหาคำศัพท์ทั่วไปของ P.A. ที่มี r = 3 และ₁ = 2.

ดิ_ไม่ = 2 + (n -1) r

ดิ_ไม่ = 2 + (n -1) 3

ดิ_ไม่ = 2 + 3n – 3

ดิ_ไม่ = 2n - 1

นี่คือคำศัพท์ทั่วไปของ P.A. ซึ่งใช้เพื่อค้นหาคำศัพท์ใด ๆ ในกระบวนการนี้

• ผลรวมของเงื่อนไขของ PA

เธ ผลรวมของเงื่อนไขของ PA มันจะค่อนข้างลำบากหากจำเป็นต้องค้นหาคำศัพท์แต่ละคำและรวมเข้าด้วยกัน มีสูตรคำนวณผลรวมทั้งหมด ไม่ เงื่อนไขแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่าง:

หาผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100

เรารู้ว่าเลขคี่เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วน 2: (1, 3, 5, 7…99) ในการดำเนินการนี้มี 50 เทอม เนื่องจากตั้งแต่ 1 ถึง 100 ครึ่งหนึ่งของตัวเลขจะเป็นคู่และอีกครึ่งหนึ่งเป็นเลขคี่

ดังนั้น เราต้อง:

n = 50

ดิ₁ = 1

ดิ_ไม่ = 99

เข้าถึงด้วย: ฟังก์ชันดีกรีที่ 1 - การใช้งานจริงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สตริงยังสามารถจัดเป็น prความก้าวร้าว เรขาคณิต (พีจี). สำหรับลำดับที่จะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต มันต้องมีเหตุผล แต่ในกรณีนี้ ในการหาเทอมถัดไปจากเทอมแรก เราดำเนินการ การคูณอัตราส่วนด้วยเทอมก่อนหน้า.

ตัวอย่าง:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน 2 และเทอมแรกคือ 3

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน 10 และเทอมแรกคือ 20

• ระยะเวลาของ PG

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราเป็นตัวแทนของเหตุผลของตัวอักษร อะไร. ระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้โดยสูตร:

ดิ_ไม่ = the₁ · อะไร^{น - 1}

ตัวอย่าง:

ค้นหาระยะที่ 10 ของ PG โดยรู้ว่า knowing อะไร = 2 และ₁ = 5.

ดิ_ไม่ = the₁ · อะไร^{น - 1}

ดิ₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

ดิ₁₀ = 5 · 2⁹

ดิ₁₀ = 5 · 512

ดิ₁₀ = 2560

• คำศัพท์ทั่วไปของ PG

เมื่อเราทราบเทอมแรกและเหตุผลแล้ว เป็นไปได้ที่จะสร้างสูตรคำศัพท์ทั่วไปจากความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ขึ้นอยู่กับค่าของ ไม่. สำหรับสิ่งนี้เราเพียงแค่แทนที่เทอมแรกและอัตราส่วนแล้วเราจะพบสมการที่ขึ้นอยู่กับค่าของ ไม่.

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ โดยที่อัตราส่วนคือ 2 และเทอมแรกคือ 5 คำทั่วไปสำหรับ GP นี้คือ:

ดิ_ไม่ = the₁ · อะไร^{น - 1}

ดิ_ไม่ = 5 · 2^{น - 1}

• ผลรวมของเงื่อนไขของ PG

การเพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเป็นงานมาก ในหลายกรณี การเขียนลำดับทั้งหมดเพื่อให้ได้ผลรวมนี้ใช้เวลานาน เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรที่ใช้คำนวณ ผลรวมของ ไม่ องค์ประกอบแรก ของ PG. จำกัด:

ตัวอย่าง:

ค้นหาผลรวมของ 10 เงื่อนไขแรกของ GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 …)

โปรดทราบว่าอัตราส่วนของ PG นี้เท่ากับ 2

ดิ₁ = 1

อะไร = 2

ไม่ = 10

อ่านด้วย: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - การใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในทางปฏิบัติ

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - นักวิทยาศาสตร์ได้สังเกตเห็นวัฒนธรรมเฉพาะของแบคทีเรียเป็นเวลาสองสามวัน หนึ่งในนั้นกำลังวิเคราะห์การเติบโตของประชากรกลุ่มนี้ และเขาสังเกตเห็นว่าในวันแรก มีแบคทีเรีย 100 ตัว; ในวินาทีที่สอง 300 แบคทีเรีย; ในลำดับที่สาม มีแบคทีเรีย 900 ตัว เป็นต้น การวิเคราะห์ลำดับนี้เราสามารถพูดได้ว่า:

A) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของเหตุผลที่ 200

B) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน 200

C) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของเหตุผลที่ 3

D) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วน 3

E) ลำดับ แต่ไม่ใช่ความก้าวหน้า

ความละเอียด

ทางเลือก ง.

การวิเคราะห์ลำดับ เรามีเงื่อนไข:

โปรดทราบว่า 900/300 = 3 เช่นเดียวกับ 300/100 = 3 ดังนั้นเราจึงทำงานกับ PG ในอัตราส่วน 3 เนื่องจากเราคูณด้วยสามจากเทอมแรก

คำถามที่ 2 - (ศัตรู – PPL) สำหรับผู้เริ่มต้นวิ่ง กำหนดแผนการฝึกประจำวันดังต่อไปนี้: วิ่ง 300 เมตรในวันแรก และเพิ่มขึ้น 200 เมตรต่อวันจากวินาที ในการนับประสิทธิภาพของเขา เขาจะใช้ชิปที่ติดอยู่กับรองเท้าผ้าใบเพื่อวัดระยะทางในการฝึกซ้อม พิจารณาว่าชิปนี้จะจัดเก็บการวิ่ง/เดินในหน่วยความจำสูงสุด 9.5 กม. และต้องวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของการฝึก และทิ้งไปหลังจากใช้พื้นที่สำรองหมดแล้ว หากนักกีฬาคนนี้ใช้ชิปตั้งแต่วันแรกของการฝึก ชิปนี้จะเก็บระยะทางของแผนการฝึกประจำวันนั้นได้กี่วันติดต่อกัน?

ก) 7

ข) 8

ค) 9

ง) 12

จ) 13

ความละเอียด

ทางเลือก ข.

จากการวิเคราะห์สถานการณ์ เรารู้ว่าเรามี PA ที่มีเหตุผล 200 และสิ้นสุดเริ่มต้นเท่ากับ 300

นอกจากนี้ เรารู้ว่าผลรวม S_ไม่ = 9.5 กม. = 9500 เมตร

ด้วยข้อมูลเหล่านี้ เรามาค้นหาคำว่า a_ไม่ซึ่งเป็นจำนวนกิโลเมตรที่บันทึกในวันสุดท้ายของการจัดเก็บ

นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การจดจำว่าคำใด ๆ_ไม่ สามารถเขียนเป็น:

ดิ_ไม่ = the₁ + (n - 1)r

จากสมการ 200n² + 400n – 19000 = 0 เราสามารถหารพจน์ทั้งหมดด้วย 200 ทำให้สมการง่ายขึ้นและหาได้: n² + 2n – 95 = 0

สำหรับเดลต้าและภัสคารา เราต้อง:

a = 1

ข = 2

ค = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

เรารู้ว่า 8.75 สอดคล้องกับ 8 วันและสองสามชั่วโมง ในกรณีนี้ จำนวนวันที่สามารถทำการวัดได้คือ 8

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm