การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของชุดนี้ การคูณและการหารของเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปแบบตรีโกณมิติทำได้เกือบจะในทันที ในขณะที่ในรูปแบบพีชคณิต กระบวนการนี้ต้องการการคำนวณมากขึ้น การเพิ่มศักยภาพและการแผ่รังสีของสารเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติยังอำนวยความสะดวกด้วยการใช้สูตรของ Moivre เรามาดูกันว่าการรูทของตัวเลขเหล่านี้ดำเนินการอย่างไร:
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi รูปแบบตรีโกณมิติของ z คือ:
รากดัชนี n ของ z ถูกกำหนดโดยสูตร Moivre ที่สอง:
ตัวอย่างที่ 1 หารากที่สองของ 2i
วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นเราต้องเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ
จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดอยู่ในรูปแบบ z = a + bi ดังนั้น เราต้อง:
เราทราบด้วยว่า:
ด้วยค่าไซน์และโคไซน์ เราสามารถสรุปได้ว่า:
ดังนั้น รูปแบบตรีโกณมิติของ z = 2i คือ:
ทีนี้ มาคำนวณรากที่สองของ z โดยใช้สูตรของ Moivre
เนื่องจากเราต้องการรากที่สองของ z เราจึงได้รากที่แตกต่างกันสองตัว z0 และ z1.
สำหรับ k = 0 เราจะมี
สำหรับ k = 1 เราจะมี:
หรือ
ตัวอย่างที่ 2 รับลูกบาศก์รูทของ z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
วิธีแก้ไข: เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปแบบตรีโกณมิติอยู่แล้ว ให้ใช้สูตรของ Moivre จากประโยคที่เราจะได้ ø = π และ |z| = 1 ดังนั้น
เราจะมีรากที่แตกต่างกันสามตัว z0, z1 และ z2.
สำหรับ k = 0
สำหรับ k = 1
หรือ z1 = – 1 เนื่องจาก cos π = – 1 และบาป π = 0
สำหรับ k = 2
โดย มาร์เซโล ริโกนาตโต
ผู้เชี่ยวชาญด้านสถิติและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ทีมโรงเรียนบราซิล
ตัวเลขที่ซับซ้อน - คณิตศาสตร์ - โรงเรียนบราซิล
ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm