ทฤษฎีบทของลาปลาซ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซ

สำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับน้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 (n≤3) เรามีกฎที่ใช้งานได้จริงเพื่อทำการคำนวณเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เมื่อลำดับมากกว่า 3 (n>3) กฎเหล่านี้จำนวนมากจะใช้ไม่ได้

เราจะเห็นทฤษฎีบทของลาปลาซ ซึ่งใช้แนวคิดของปัจจัยร่วม นำการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ไปสู่กฎที่ใช้กับเมทริกซ์กำลังสองใดๆ

ทฤษฎีบทของ Laplace ประกอบด้วยการเลือกแถวใดแถวหนึ่ง (แถวหรือคอลัมน์) ของเมทริกซ์ และเพิ่มผลคูณขององค์ประกอบของแถวนั้นด้วยปัจจัยร่วมตามลำดับ

ภาพประกอบพีชคณิต:

ลองดูตัวอย่าง:

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ C โดยใช้ทฤษฎีบทของ Laplace:

ตามทฤษฎีบทของ Laplace เราต้องเลือกแถว (แถวหรือคอลัมน์) เพื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ลองใช้คอลัมน์แรก:

เราต้องหาค่าโคแฟกเตอร์:

ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของ Laplace ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ C ถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องคำนวณโคแฟกเตอร์ขององค์ประกอบเมทริกซ์ซึ่งเท่ากับศูนย์ ท้ายที่สุด เมื่อเราคูณโคแฟกเตอร์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์อยู่ดี ดังนั้น เมื่อเราเจอเมทริกซ์ที่มีเลขศูนย์หลายตัวในแถวใดแถวหนึ่ง การใช้ทฤษฎีบทของ Laplace กลายเป็นเรื่องที่น่าสนใจเพราะไม่จำเป็นต้องคำนวณหลาย ๆ ตัว ปัจจัยร่วม

ลองดูตัวอย่างของข้อเท็จจริงนี้:

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ B โดยใช้ทฤษฎีบทของ Laplace:

โปรดทราบว่าคอลัมน์ที่สองคือแถวที่มีจำนวนศูนย์มากที่สุด ดังนั้นเราจะใช้แถวนี้เพื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ผ่านทฤษฎีบทของ Laplace

ดังนั้น ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ B เพียงแค่หาโคแฟกเตอร์ A22

ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ให้เสร็จสมบูรณ์:

det บี = (- 1). (- 65) = 65

โดย Gabriel Alessandro de Oliveira
จบคณิต
ทีมโรงเรียนบราซิล

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm