การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิต

เมื่อใดก็ตามที่คำว่า “พีชคณิต” ถูกใช้สำหรับนิพจน์ตัวเลข หมายความว่านิพจน์นั้น ไม่ทราบอย่างน้อย 1 ตัว คือ ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนตัวเลข ไม่ทราบ ดังนั้น a เศษส่วนพีชคณิตในทางกลับกัน ไม่มีอะไรมากไปกว่าเศษส่วนที่มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่รู้จักใน ตัวส่วน (ด้านล่างของเศษส่วน). ดังนั้น การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิต ยึดตามรากฐานเดียวกันกับการลดความซับซ้อนของเศษส่วนตัวเลข

ตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิตคือ:

1)

2x
4ปี

2)

4ปี² – 9x²
2y + 3x

ลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิต

การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิตใช้พื้นฐานเดียวกับการทอนเศษส่วนที่เป็นตัวเลข จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน สังเกตตัวอย่างการลดความซับซ้อนของเศษส่วน:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

เศษส่วนด้านบนลดรูปด้วย 2, จากนั้น 3 และ 5 เพื่อสนับสนุนขั้นตอนของ การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิต เราจะเขียนเศษส่วนแรกด้านบนใหม่ในรูปแบบแยกตัวประกอบ:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

โปรดทราบว่าตัวเลข 2, 3 และ 5 นั้นซ้ำกันในตัวเศษและส่วนและเป็นตัวเลขเดียวกันกับที่เศษส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นด้วย ในบริบทของ เศษส่วนพีชคณิต, ขั้นตอนก็คล้าย ๆ กัน อย่างที่มันเป็น

จำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามที่มีอยู่ในตัวเศษและตัวส่วน หลังจากนั้นเราต้องประเมินว่าสามารถลดความซับซ้อนบางอย่างได้หรือไม่.

ตัวอย่าง

1) ลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิตต่อไปนี้:

4x²y³
16xy⁶

แยกตัวประกอบไม่ทราบค่าและจำนวนที่มีอยู่ในเศษส่วน:

4x²y³
16xy⁶

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

ตอนนี้ทำการหารให้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ สำหรับเศษส่วนที่เป็นตัวเลขก่อนหน้านี้: ตัวเลขที่ปรากฏทั้งตัวเศษและตัวส่วนหายไป กล่าวคือ "ตัด". นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้ว่าผลลัพธ์ของการทำให้เข้าใจง่ายเหล่านี้คือ 1 ดู:

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

x
2·2·ย·ย·ย

x
4ปี³

2) ลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิตต่อไปนี้:

4ปี² – 9x²
2y + 3x

สังเกตว่าตัวเศษของสิ่งนี้ เศษส่วนพีชคณิต ตกอยู่ในกรณีหนึ่งของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น นั่นคือ ความแตกต่างสองตาราง. ในการแยกตัวประกอบ แค่เขียนมันใหม่ในรูปแบบแยกตัวประกอบ หลังจากนั้น เป็นไปได้ที่จะ "ตัด" คำที่ปรากฏในทั้งตัวส่วนและตัวเศษดังในตัวอย่างก่อนหน้า ดู:

4ปี² – 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x

= 1·(2y – 3x)

= 2y + 3x

3) ลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิตต่อไปนี้:

²(ย² – 16x²)
ay + 4ax

ดังที่เคยทำมาแล้ว แยกตัวประกอบพหุนามที่มีอยู่ในตัวเศษและตัวส่วน หลังจากนั้นให้ทำการแบ่งส่วนที่เป็นไปได้

²(ย² – 16x²)
ay + 4ax

= ··(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

โปรดทราบว่าตัวเศษได้รับการแยกตัวประกอบโดยใช้ ความแตกต่างสองตาราง และตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบผ่านตัวประกอบร่วม นอกจากนี้ คำว่า² สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ a·a สุดท้าย ดำเนินการดิวิชั่นให้ได้มากที่สุด กล่าวคือ โดย a และ (y + 4x) โดย (y + 4x):

··(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

= 1·1·(y – 4x)

= y - 4x

กรณีการแยกตัวประกอบมีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำให้เศษส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น ด้านล่างนี้คือกรณีที่สำคัญที่สุดและบางหน้าที่สามารถพบได้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

การแยกตัวประกอบของนิพจน์พีชคณิต

สามารถเขียนพหุนามในรูปแบบแยกตัวประกอบได้ หากสามารถแสดงในรูปใดรูปแบบหนึ่งจากสี่รูปแบบด้านล่าง ผลลัพธ์ที่นำเสนอเป็นรูปแบบการแยกตัวประกอบหรือตัวอย่างวิธีการแยกตัวประกอบ:

1 – ปัจจัยร่วม

หากพจน์ทั้งหมดของพหุนามมีตัวเลขที่ไม่ทราบค่าหรือจำนวนร่วม ก็สามารถนำมาเป็นหลักฐานได้ ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม 4x² + 2x เราสามารถใส่ 2x เป็นหลักฐานได้ ผลลัพธ์จะเป็น:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

โปรดทราบว่าเมื่อทำการคูณที่ระบุในสมาชิกที่สอง (ด้านขวาของความเท่าเทียมกัน) ผลลัพธ์จะเป็น สมาชิกคนแรกอย่างแม่นยำ (ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน) เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายของ การคูณ

2 – การจัดกลุ่ม

จากกรณีก่อนหน้านี้ พหุนามที่มีสี่พจน์สามารถแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม, เข้าร่วม, คำทั่วไปสองต่อสองและต่อมาจะแยกตัวประกอบอีกครั้งหากผลลัพธ์ออกจากสิ่งนี้ ความเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น 2x + bx + 2y + โดยพหุนาม สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

2x + bx + 2y + โดย

x (2 + b) + y (2 + b)

โปรดทราบว่า (2 + b) ซ้ำทั้งสองเงื่อนไขใหม่ ดังนั้นเราจึงสามารถนำมาเป็นหลักฐาน:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + ข)(x + y)

3 – trinomial สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ Perfect

เมื่อใดก็ตามที่พหุนามเป็นพหุนามกำลังสองสมบูรณ์ จะถูกเขียนเทียบเท่ากับหนึ่งในสามนิพจน์ต่อไปนี้ที่จัดเรียงไว้ทางด้านซ้ายและสีแดง

x² + 2x + เป็² = (x + ก)(x + ก)

x² – 2x + a² = (x - ก)(x - ก)

x² - อะ² = (x + ก)(x - ก)

ด้านขวาเป็นรูปตัวประกอบของพหุนามซึ่งสามารถใช้สำหรับ การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิต.

4 – ผลรวมหรือผลต่างของลูกบาศก์สองก้อน

เมื่อใดก็ตามที่พหุนามอยู่ในรูปถัดไปหรือสามารถเขียนได้ มันจะเป็นผลรวมของลูกบาศก์สองก้อน

x³ + 3x²ที่ + 3x² + ที่³ = (x + ก)³

x³ – 3x²ที่ + 3x² - อะ³ = (x - ก)³

อีกครั้ง ทางซ้ายมือที่เป็นสีแดงคือพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบและเขียนใหม่ได้เหมือนกับนิพจน์ทางด้านขวามือ

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm