ฟังก์ชันหัวฉีด: มันคืออะไร ลักษณะ ตัวอย่าง

เธ ฟังก์ชั่นหัวฉีดหรือเรียกอีกอย่างว่า injective function เป็นกรณีเฉพาะของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชั่นที่จะพิจารณาการฉีดเราต้องมีเหตุการณ์ดังต่อไปนี้: ให้สององค์ประกอบ x₁ และ x_2, ที่อยู่ในชุดโดเมนด้วย x₁ แตกต่างจาก x₂, รูปภาพ f(x₁) และ f(x₂) มีความแตกต่างกันเสมอ, นั่นคือ, f(x₁) ≠ f(x .)₂). ฟังก์ชันนี้มีลักษณะเฉพาะที่ช่วยให้สามารถระบุกราฟและวิเคราะห์กฎการก่อตัวได้

อ่านด้วย: โดเมน คอนทราโดเมน และรูปภาพ - เงื่อนไขพื้นฐานสำหรับการทำความเข้าใจเนื้อหาของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นการฉีดคืออะไร?

ในการสร้างตัวอย่างฟังก์ชันหัวฉีด จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความของฟังก์ชันประเภทนี้ ฟังก์ชั่น ฉ: A → B จัดเป็นการฉีดก็ต่อเมื่อ องค์ประกอบที่แตกต่างจากชุด A มีภาพที่แตกต่างกันในชุด B, กล่าวคือ:

ตัวอย่าง 1:

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการทำงานของหัวฉีดใน dไดไดอะแกรมไม่ไม่:

ฟังก์ชั่นหัวฉีด

ตัวอย่างที่ 2:

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่ไม่ฉีด โปรดทราบว่าใน ชุด A มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสององค์ประกอบที่มีภาพเหมือนกันในชุด B ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันหัวฉีด

ฟังก์ชั่นไม่ฉีด

วิธีการคำนวณฟังก์ชั่นหัวฉีด?

ในการตรวจสอบว่ามีการฉีดฟังก์ชันหรือไม่ จำเป็นต้องวิเคราะห์พฤติกรรมของกฎการก่อตัว และโดเมนและโดเมนที่ขัดแย้งกันซึ่งมีการกำหนดฟังก์ชันไว้

ตัวอย่าง:

ได้รับหน้าที่ ฉ: R → R ด้วยกฎการก่อตัว ฉ(x) = 2x ตรวจสอบว่าเป็นหัวฉีดหรือไม่

ตามกฎการก่อตัว เราจะเห็นได้ว่าต้องใช้ a เบอร์จริง ของโดเมนและเปลี่ยนเป็นสองเท่า จำนวนจริงสองจำนวนที่แตกต่างกัน เมื่อคูณด้วยสอง ให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน เธ อาชีพฉ อย่างที่เราเห็น มันเป็นฟังก์ชันของหัวฉีด เพราะสำหรับค่า x. สองค่าใดๆ₁ และ x₂,คุณค่าของ ฉ(x₁) ≠ ฉ(x₂).

ตัวอย่างที่ 2:

ได้รับหน้าที่ ฉ: R → R พร้อมกฎการก่อตัว ฉ(x) = x² ตรวจสอบว่าเป็นหัวฉีดหรือไม่

เราสามารถสังเกตได้ว่าสำหรับโดเมนนี้ ฟังก์ชันนี้ไม่ได้ฉีดเข้าไป เนื่องจากเรามีรูปภาพของตัวเลขใดๆ เท่ากับรูปภาพของด้านตรงข้าม ตัวอย่างเช่น

ฉ( 2) = 2² = 4
ฉ( --2 ) = (– 2) ² = 4

โปรดทราบว่า ฉ(2) = ฉ ( – 2) ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันหัวฉีด

ตัวอย่างที่ 3:

ได้รับหน้าที่ ฉ:R⁺ → R พร้อมกฎการก่อตัว ฉ(x) = x² ตรวจสอบว่าเป็นหัวฉีดหรือไม่

โปรดทราบว่าตอนนี้โดเมนเป็นจำนวนจริงบวกและศูนย์ ฟังก์ชันนี้เปลี่ยนจำนวนจริงให้เป็นกำลังสอง ในกรณีนี้ เมื่อโดเมนเป็นเซตของจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันนี้จะเป็นอินเจกทีฟ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนบวกที่แตกต่างกันสองตัวจะสร้างผลลัพธ์ที่แตกต่างกันเสมอ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้ว่า นอกเหนือจากกฎการสร้างฟังก์ชันแล้ว เราจำเป็นต้องวิเคราะห์โดเมนและโดเมนที่ขัดแย้งกัน

อ่านด้วย: ฟังก์ชันผกผันคืออะไร?

แผนภูมิฟังก์ชันการฉีด

ในการระบุว่ากราฟเป็นฟังก์ชันของหัวฉีดหรือไม่ ให้ตรวจสอบว่ามี ค่า x ที่แตกต่างกันสองค่าที่สร้างตัวแทน y เดียวกันนั่นคือตรวจสอบความถูกต้องของคำจำกัดความของฟังก์ชันหัวฉีด

ในช่วงที่เราจะดูกราฟ ฟังก์ชันจะต้องเพิ่มขึ้นหรือลดลงเท่านั้น กราฟิกเช่น คำอุปมา หรือฟังก์ชันไซน์ไม่ใช่กราฟของฟังก์ชันหัวฉีด

ตัวอย่าง 1:

กราฟของเส้นตรงที่เพิ่มขึ้น

เส้นที่เพิ่มขึ้นคือกราฟของฟังก์ชันการฉีด สังเกตว่ามันเพิ่มขึ้นเสมอและไม่มีค่า y ใดที่มีความสัมพันธ์ต่างกันสองตัว

ตัวอย่างที่ 2:

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟของ a ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นอกจากนี้ยังเป็นกราฟของฟังก์ชันหัวฉีด

ตัวอย่างที่ 3:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

กราฟของ a ฟังก์ชันกำลังสอง มันเป็นคำอุปมาเสมอ เมื่อโดเมนเกี่ยวข้องกับจำนวนจริง จะเห็นว่ามีค่า x ต่างกันที่มี เหมือนกันใน y เช่นเดียวกับในจุด F และ G ซึ่งทำให้กราฟของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ that หัวฉีด

โดยสรุป หากต้องการทราบว่ากราฟนั้นเป็นของฟังก์ชันหัวฉีดหรือไม่ ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าคำจำกัดความของฟังก์ชันหัวฉีดนั้นถูกต้องหรือไม่สำหรับฟังก์ชันนั้น

การทำงานของหัวฉีดมีลักษณะเฉพาะ

แก้ไขแบบฝึกหัด

คำถามที่ 1 - (Enem 2017 – PPL) ในปีแรกของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายที่โรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นเรื่องปกติที่นักเรียนจะเต้นรำสแควร์แดนซ์ในงานปาร์ตี้เดือนมิถุนายน ในปีนี้ มีเด็กผู้หญิง 12 คนและเด็กผู้ชาย 13 คนในชั้นเรียน และมีการตั้งคู่ที่แตกต่างกัน 12 คู่สำหรับแก๊งค์ ซึ่งประกอบด้วยเด็กผู้หญิงและเด็กผู้ชาย สมมติว่าเด็กผู้หญิงเป็นองค์ประกอบที่ประกอบกันเป็นเซต A และเด็กผู้ชาย ชุด B ดังนั้นคู่ที่ก่อตัวขึ้นเป็นตัวแทนของฟังก์ชัน f จาก A ถึง B

จากข้อมูลนี้ การจำแนกประเภทของฟังก์ชันที่มีอยู่ในความสัมพันธ์นี้คือ

A) f กำลังฉีด เพราะสำหรับเด็กผู้หญิงแต่ละคนที่อยู่ในเซต A เด็กผู้ชายที่แตกต่างกันของเซต B นั้นสัมพันธ์กัน

B) f เป็นสมมุติฐาน เนื่องจากแต่ละคู่เกิดขึ้นจากเด็กผู้หญิงที่อยู่ในเซต A และเด็กผู้ชายที่อยู่ในเซต B ทำให้เหลือเด็กผู้ชายที่ไม่ได้จับคู่ไว้

C) f กำลังฉีดยา เนื่องจากเด็กผู้หญิงสองคนที่อยู่ในชุด A จับคู่กับเด็กผู้ชายคนเดียวกันที่อยู่ในชุด B เพื่อให้นักเรียนทุกคนในชั้นเรียนมีส่วนร่วม

D) f เป็นคู่กรณี เนื่องจากเด็กผู้ชายสองคนที่อยู่ในชุด B เป็นคู่กับผู้หญิงคนเดียวกันที่อยู่ในชุด A

E) f เป็นสมมุติฐาน เพราะมันเพียงพอแล้วที่เด็กผู้หญิงจากเซต A จะสร้างคู่กับเด็กชายสองคนจากเซต B เพื่อไม่ให้เด็กผู้ชายคนไหนขาดคู่

ความละเอียด

ทางเลือก ก.

ฟังก์ชันนี้เป็นแบบ injective เพราะ สำหรับแต่ละองค์ประกอบของเซต A จะมีตัวสอดคล้องกันตัวเดียวในชุด B โปรดทราบว่าไม่มีทางเป็นไปได้ที่ผู้หญิงสองคนจะเต้นรำกับคู่เดียวกัน ความสัมพันธ์นี้จึงปะทุขึ้น

คำถามที่ 2 - (IME - RJ) พิจารณาเซต A = {(1,2), (1,3), (2,3)} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} และปล่อยให้ฟังก์ชัน f: A → B โดยที่ f(x, y) = x + y

สามารถกล่าวได้ว่า f เป็นฟังก์ชัน:

ก) หัวฉีด

B) สมมุติ

ค) ไบเจ็คเตอร์

D) ตราไว้หุ้นละ

จ) คี่

ความละเอียด

ทางเลือก ก.

การวิเคราะห์โดเมน เราต้อง:

ฉ (1.2) = 1 + 2 = 3
ฉ (1,3) = 1 + 3 = 4
ฉ(2,3) = 2 + 3 = 5

โปรดทราบว่าสำหรับคำสองคำที่แตกต่างกันในโดเมน คำเหล่านั้นเกี่ยวข้องกับคำที่แตกต่างกันในโดเมนที่ขัดแย้งกัน ซึ่งทำให้ฟังก์ชันนี้เป็นตัวฉีด

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิตศาสตร์

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm