ลำดับตัวเลข: มันคืออะไร ประเภท แบบฝึกหัด

เธ ลำดับตัวเลขตามชื่อคือลำดับของตัวเลขและโดยปกติ มีกฎหมายการเกิดซ้ำซึ่งทำให้สามารถคาดการณ์ได้ว่าข้อกำหนดถัดไปจะเป็นอย่างไร ทำความรู้จักกับรุ่นก่อนของคุณ เราสามารถประกอบลำดับตัวเลขที่มีเกณฑ์ต่างกันได้ เช่น ลำดับของเลขคู่ หรือลำดับของตัวเลข หารด้วย 4 ลงตัว, ลำดับจำนวนเฉพาะ, ลำดับกำลังสองสมบูรณ์, ท้ายสุด มีความเป็นไปได้หลายลำดับ ตัวเลข

เมื่อเราจัดลำดับตามจำนวนเทอม ลำดับสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเราจำแนกลำดับเกี่ยวกับพฤติกรรมของเงื่อนไข ลำดับนี้สามารถ ขึ้น ลง สั่น หรือคงที่. มีกรณีพิเศษของลำดับที่เรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

อ่านด้วย: วิธีการคำนวณ soma ของเงื่อนไขของ a ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?

สรุปลำดับตัวเลข

• ลำดับตัวเลขไม่มีอะไรมากไปกว่าลำดับของตัวเลข

• ตัวอย่างลำดับตัวเลขบางส่วน:

  • ลำดับของเลขคู่ (0,2,4,6,8…);

  • ลำดับของธรรมชาติน้อยกว่า 6 (1, 2, 3, 4, 5);

  • ลำดับของจำนวนเฉพาะ (2,3,5,7,11,…)

• กฎแห่งการก่อตัวของความก้าวหน้าคือกฎที่ควบคุมลำดับนี้

• ลำดับสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด

  • Finite: เมื่อคุณมีเงื่อนไขจำนวนจำกัด

  • ไม่มีที่สิ้นสุด: เมื่อคุณมีเงื่อนไขไม่จำกัดจำนวน

• ลำดับสามารถเพิ่มขึ้น ไม่เชื่อ คงที่หรือผันผวน

  • Crescent: เมื่อคำนั้นเล็กกว่าตัวตายตัวแทนเสมอ

  • จากมากไปน้อย: เมื่อคำนั้นมากกว่าผู้สืบทอดเสมอ

  • ค่าคงที่: เมื่อพจน์มีค่าเท่ากับตัวตายตัวแทนเสมอ

  • สั่น: เมื่อมีคำที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าตัวต่อ

• มีกรณีพิเศษของลำดับที่เรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

กฎการเกิดขึ้นของลำดับตัวเลข

เรารู้ว่าเป็นลำดับตัวเลข ลำดับใด ๆ ที่เกิดขึ้นจากตัวเลข เรามักจะแสดงลำดับโดยแสดงรายการคำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค รายการนี้เรียกว่ากฎการเกิดขึ้นของลำดับตัวเลข

(ดิ₁, แ₂, แ_3, …, แ_ไม่)

₁ → เทอมที่ 1 ของซีเควนซ์

₂ → เทอมที่ 2 ของซีเควนซ์

₃ → เทอมที่ 3 ของซีเควนซ์

_ไม่ → เทอมที่ n ของซีเควนซ์

ลองดูตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 1:

กฎการเกิดขึ้นของลำดับของตัวเลข ทวีคูณ จาก 5:

(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)

ตัวอย่างที่ 2:

กฎการเกิดขึ้นของลำดับของ จำนวนเฉพาะ:

(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )

ตัวอย่างที่ 3:

กฎการเกิดขึ้นของ ทั้งหมด เชิงลบ:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)

ตัวอย่างที่ 4:

ลำดับของเลขคี่น้อยกว่า 10:

(1, 3, 5, 7, 9)

อ่านด้วย: คุณสมบัติของเลขคี่และเลขคู่คืออะไร?

การจำแนกลำดับตัวเลข

มีสองวิธีที่แตกต่างกันในการจำแนกสตริง อันแรกคือ ตามจำนวนเงื่อนไข amountวิธีที่ลำดับสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด วิธีอื่นในการจำแนกลำดับคือ เกี่ยวกับพฤติกรรมของพวกเขา ในกรณีนี้จะจัดเป็นการเพิ่ม การลดลง คงที่หรือผันผวน

• จำแนกตามจำนวนเงื่อนไข

→ ลำดับจำนวนจำกัด

ลำดับมีจำกัดเมื่อมัน มีจำนวนจำกัด.

ตัวอย่าง:

• (1, 2, 3, 4, 5)

• (– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)

→ ลำดับจำนวนอนันต์

ลำดับจะไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อมีเงื่อนไขไม่จำกัด

ตัวอย่าง:

• (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )

• (– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )

• คะแนนพฤติกรรม

→ ลำดับเลขจากน้อยไปมาก

ลำดับกำลังขึ้น เมื่อคำใด ๆ น้อยกว่าทายาทเสมอ ในลำดับ.

ตัวอย่าง:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )

• ( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)

→ ลำดับตัวเลขจากมากไปหาน้อย

ลำดับกำลังลดลง เมื่อคำใด ๆ มากกว่าทายาทเสมอ ในลำดับ.

ตัวอย่าง:

• (10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )

• (4, – 8, – 16, – 32, – 64 )

→ ลำดับเลขคงที่

ลำดับจะคงที่เมื่อ เงื่อนไขทั้งหมดในลำดับจะเหมือนกัน:

ตัวอย่าง:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)

• ( – 4, – 4, – 4, – 4 … )

→ ลำดับจำนวนสั่น

ลำดับกำลังแกว่ง เมื่อมีเทอมที่ใหญ่กว่าและเทอมที่เล็กกว่า ว่าผู้สืบทอดตามลำดับ:

ตัวอย่าง:

• (1,-2,4,-8,16,-32,64...)

• (1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)

กฎการสร้างลำดับตัวเลข

ลำดับบางลำดับสามารถอธิบายได้ด้วย a สูตรที่สร้างเงื่อนไขของคุณ สูตรนี้เรียกว่ากฎแห่งการก่อตัว เราใช้กฎแห่งการก่อตัวเพื่อค้นหาคำศัพท์ใด ๆ ในลำดับเมื่อเรารู้พฤติกรรมของมัน

ตัวอย่าง 1:

ลำดับต่อไปนี้เกิดขึ้นจาก สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ:

(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )

เราสามารถอธิบายลำดับนี้โดยกฎแห่งการก่อตัว:

_ไม่ = (n – 1)²

n → เทอม number

_ไม่ → ระยะตำแหน่ง ไม่

ด้วยสูตรนี้ เป็นไปได้ที่จะทราบ ตัวอย่างเช่น คำที่อยู่ในตำแหน่งที่ 10 ในลำดับ:

₁₀ = ( 10 – 1) ²

₁₀ = 9²

₁₀ = 81

ตัวอย่างที่ 2:

ระบุเงื่อนไขของลำดับซึ่งกฎการก่อตัวคือ_ไม่ = 2n – 5.

ในการแสดงรายการ เราจะพบคำศัพท์แรกในลำดับ:

เทอมแรก:

_ไม่ = 2n - 5

₁ = 2·1 – 5

₁ = 2 – 5

₁ = – 3

ระยะที่ 2:

_ไม่ = 2n - 5

₂ = 2·2 – 5

₂ = 4 – 5

₂ = – 1

เทอมที่ 3:

_ไม่ = 2n - 5

₃ = 2·3 – 5

₃ = 6 – 5

₃ = 1

เทอมที่ 4:

_ไม่ = 2n - 5

₄ = 2·4 – 5

₄ = 8 – 5

₄ = 3

เทอมที่ 5:

₅ = 2n - 5

₅ = 2·5 – 5

₅ = 10 – 5

₅ = 5

ดังนั้นลำดับคือ:

(– 1, 1, 3, 5 … )

ดูด้วย: เลขโรมัน — ระบบตัวเลขที่ใช้ตัวอักษรแทนค่าและปริมาณ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พวกมันมีอยู่จริง กรณีพิเศษของลำดับ ซึ่งเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับคือความก้าวหน้าเมื่อมีเหตุผลสำหรับคำศัพท์สำหรับผู้สืบทอด

• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เมื่อเรารู้พจน์แรกในลำดับ และหาคำที่สองเราเพิ่ม ครั้งแรกกับค่า r และในการหาเทอมที่สาม เราบวกค่าที่สองเข้ากับค่าเดียวกันนี้ rและอื่นๆ สตริงถูกจัดประเภทเป็น a ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ตัวอย่าง:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

นี่คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของอัตราส่วนเท่ากับ 4 และเทอมแรกเท่ากับ 1

สังเกตว่า ในการหาตัวตายตัวแทนของตัวเลขในลำดับ ก็แค่บวก 4 เราจึงบอกว่า 4 เป็นสาเหตุของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ที่ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็มีเหตุผลเช่นกัน แต่ในกรณีนี้ ในการหาตัวต่อจากพจน์นั้น เราต้องคูณพจน์นั้นด้วยอัตราส่วน.

ตัวอย่าง:

(2, 6, 18, 54, 162, … )

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอัตราส่วนเท่ากับ 3 และเทอมแรกเท่ากับ 2

โปรดทราบว่าในการหาตัวตายตัวแทนของตัวเลขในลำดับนี้ เพียงคูณด้วย 3 ซึ่งจะทำให้อัตราส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เป็น 3

แบบฝึกหัดแก้ไขเกี่ยวกับลำดับเลข

คำถามที่ 1 - การวิเคราะห์ลำดับ (1, 4, 9, 16, 25, … ) เราสามารถพูดได้ว่าตัวเลขสองตัวถัดไปจะเป็น:

ก) 35 และ 46

ข) 36 และ 49

ค) 30 และ 41

ง) 41 และ 66

ความละเอียด

ทางเลือก ข.

ในการหาเงื่อนไขของลำดับ สิ่งสำคัญคือต้องหาความสม่ำเสมอในลำดับ นั่นคือ ทำความเข้าใจกฎการเกิดขึ้นของลำดับนั้น โปรดทราบว่า จากเทอมแรกถึงเทอมที่สอง เราบวก 3; จากเทอมที่สองถึงเทอมที่สาม เราบวก 5; จากเทอมที่สามถึงเทอมที่สี่และเทอมที่สี่ถึงเทอมที่ห้า เราบวก 7 และ 9 ตามลำดับ ดังนั้นผลรวมจึงเพิ่มขึ้นเป็นสอง หน่วยของแต่ละเทอมของลำดับ นั่นคือ ต่อไป เราจะบวก 11, 13, 15, 17 และอื่นๆ ตามลำดับ ในการหาผู้สืบทอดของ 25 เราจะเพิ่ม 11

25 + 11 = 36.

ในการค้นหาผู้สืบทอดของ 36 เราจะเพิ่ม 13

36 + 13 = 49

ดังนั้นเทอมถัดไปจะเป็น 36 และ 49

คำถามที่ 2 - (สถาบัน AOCP) ต่อไป จะนำเสนอลำดับตัวเลข โดยที่องค์ประกอบของลำดับนี้จะเป็น จัดเรียงตามกฎการก่อตัว (ตรรกะ) โดยที่ x และ y เป็นจำนวนเต็ม: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). การสังเกตลำดับนี้และการหาค่าของ x และ y ตามกฎของการก่อตัวของลำดับที่กำหนด ถูกต้องที่จะระบุว่า

A) x เป็นจำนวนที่มากกว่า 30

B) y เป็นตัวเลขที่น้อยกว่า 5

C) ผลรวมของ x และ y ให้ผลลัพธ์เป็น 25

D) ผลคูณของ x และ y ให้ 106

E) ผลต่างระหว่าง y และ x ตามลำดับ เป็นจำนวนบวก

ความละเอียด

ทางเลือก C

เราต้องการหาเทอมที่ 7 และ 8 ของลำดับนี้

การวิเคราะห์กฎการเกิดขึ้นของลำดับ (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y) จะเห็นว่ามีเหตุผลสำหรับพจน์คี่ (เทอมที่ 1 เทอม 3 เทอม 5 … ). โปรดทราบว่าเทอมที่ 3 เท่ากับเทอมที่ 1 ลบ 2 เนื่องจาก 24 – 2 = 22 โดยใช้ตรรกะเดียวกันนี้ เทอมที่ 7 แทนด้วย x จะเป็นเทอมที่ 5 ลบ 2 นั่นคือ x = 20 – 2 = 18

มีตรรกะที่คล้ายกันสำหรับเทอมคู่ (เทอมที่ 2, เทอมที่ 4, เทอมที่ 6…): เทอมที่ 4 คือเทอมที่ 2 ลบ 2 เนื่องจาก 13 – 2 = 11 เป็นต้น เราต้องการเทอมที่ 8 แทนด้วย y ซึ่งจะเป็นเทอมที่ 6 ลบ 2 ดังนั้น y = 9 – 2 = 7

เรามี x = 18 และ y = 7 จากการวิเคราะห์ทางเลือก เราได้ x + y = 25 นั่นคือ ผลรวมของ x และ y ให้ผลลัพธ์เป็น 25

โดย Raul Rodrigues de Oliveira
ครูคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm