วิธีการเสร็จสิ้นสี่เหลี่ยม

ในบรรดาวิธีหาค่าตัวเลขของ x กระบวนการที่เรียกว่า หารากของสมการ หรือ หาคำตอบของสมการ, เด่น: สูตรภัสการะ มันเป็น ขั้นตอนการกรอกสี่เหลี่ยม ส่วนหลังเป็นจุดสนใจของข้อความในปัจจุบัน

จำนวนคำตอบของสมการนั้นกำหนดโดยระดับของมัน ดังนั้น สมการดีกรีที่หนึ่งจึงมีคำตอบเดียว สมการดีกรีสามมีสามคำตอบ และ สมการกำลังสองมีสองคำตอบ เรียกอีกอย่างว่าราก.

สมการดีกรีที่สองในรูปแบบย่อสามารถเขียนได้ดังนี้:

ขวาน² + bx + c = 0

วิธีการเสร็จสิ้นสี่เหลี่ยม

ในกรณีนี้สมการกำลังสองคือพหุนามกำลังสองสมบูรณ์

สมการดีกรีที่สองที่เกิดจากผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นเรียกว่า ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ ในการหาราก เราจะใช้วิธีการที่แสดงตัวอย่างด้านล่าง:

ตัวอย่าง: คำนวณรากของสมการ x² + 6x + 9 = 0

โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ b คือ 6 = 2·3 ให้เขียนเป็นผลิตภัณฑ์เด่นๆ ให้ตรวจดูว่า c = 3²ซึ่งเป็นความจริงตั้งแต่ 3² = 9 = ค. ด้วยวิธีนี้เราสามารถเขียน:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

โปรดทราบว่าผลคูณที่โดดเด่นคือผลคูณระหว่างพหุนามที่เท่ากันสองตัว ในกรณีของสมการนี้เราจะได้:

(x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = 0

ผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สำหรับ (x + 3)(x + 3) = 0 จำเป็นที่ (x + 3) = 0 หรือ (x + 3) = 0 ดังนั้นทั้งสองผลลัพธ์เท่ากันสำหรับสมการ xx

² + 6x + 9 = 0 ซึ่งได้แก่: x = – 3 หรือ x = – 3

ในระยะสั้น: เพื่อแก้สมการ x² + 6x + 9 = 0 เขียน:

x² + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(x + 3)(x + 3) = 0

x = – 3 หรือ x = – 3

ในกรณีนี้สมการกำลังสองไม่ใช่ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ perfect

สมการที่สองซึ่งสัมประสิทธิ์ b และสัมประสิทธิ์ c ไม่ตรงกับความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้น ไม่ใช่ไตรนามกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ ในกรณีนี้ สามารถใช้วิธีการแก้ไขที่เน้นด้านบนโดยเพิ่มขั้นตอนสองสามขั้นตอน สังเกตตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง: คำนวณรากของสมการ x² + 6x – 7 = 0

โปรดทราบว่าสมการนี้ไม่ใช่ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ เพื่อให้เป็นเช่นนั้น เราสามารถใช้การดำเนินการต่อไปนี้:

โปรดทราบว่า b = 2·3 ดังนั้นในสมาชิกตัวแรก นิพจน์ที่ควรปรากฏคือ x² + 6x + 9 เพราะในนิพจน์นี้ b = 2·3 และ c = 3².

สำหรับ "การแปลง" นี้ ให้เติม 3² บนสองสมาชิกของสมการนี้ "ส่ง" - 7 ไปยังสมาชิกที่สอง ดำเนินการที่เป็นไปได้และสังเกตผลลัพธ์:

x² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

x² + 6x + 3² = 3² + 7

x² + 6x + 9 = 9 + 7

x² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√(x + 3)² = √16

x + 3 = 4 หรือ x + 3 = – 4

ขั้นตอนสุดท้ายนี้ต้องแบ่งออกเป็นสองสมการ เนื่องจากรากของ 16 สามารถเป็น 4 หรือ – 4 ได้ (จะเกิดขึ้นในสมการเท่านั้น ถ้าถามว่ารากของ 16 คืออะไร คำตอบก็คือ 4) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ต่อ:

x + 3 = 4 หรือ x + 3 = – 4

x = 4 – 3 หรือ x = – 4 – 3

x = 1 หรือ x = – 7

ซึ่งในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ "a" ไม่เท่ากับ 1

กรณีก่อนหน้านี้มีไว้สำหรับสมการกำลังสองโดยที่สัมประสิทธิ์ "a" เท่ากับ 1 หากสัมประสิทธิ์ "a" แตกต่างจาก 1 ให้หารสมการทั้งหมดด้วยค่า "a" แล้วดำเนินการคำนวณในลักษณะเดียวกับในกรณีก่อนหน้า

ตัวอย่าง: คำนวณราก 2x² + 16x – 18 = 0

โปรดทราบว่า a = 2 หารสมการทั้งหมดด้วย 2 และทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

x² + 8x – 9 = 0

เมื่อเสร็จแล้วให้ทำซ้ำขั้นตอนของกรณีก่อนหน้านี้

x² + 8x – 9 = 0

x² + 8x – 9 + 16 = 0 + 16

x² + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√(x + 4)² = √25

x + 4 = 5 หรือ x + 4 = –5

x = 5 – 4 หรือ x = – 5 – 4

x = 1 หรือ x = – 9

ผลิตภัณฑ์เด่นและสมการดีกรีที่สอง: ที่มาของวิธีการทำให้เสร็จเป็นกำลังสอง

สมการกำลังสองก็เหมือนกับผลคูณที่น่าทึ่งมาก ผลรวมสี่เหลี่ยม และ สแควร์ของความแตกต่าง

ตัวอย่างเช่น ผลรวมกำลังสอง คือผลรวมของโมโนเมียลสองตัวกำลังสอง ดู:

(x + k)² = x² + 2kx + k²

สมาชิกตัวแรกของความเท่าเทียมกันข้างต้นเรียกว่า สินค้าโดดเด่น และวิธีที่สอง trinomial จตุรัสที่สมบูรณ์แบบ. อันหลังนั้นเหมือนกับสมการของดีกรีที่สองมาก ดู:

ไตรโนเมียลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ: x² + 2kx + k²

สมการดีกรีที่สอง: ขวาน² + bx + c = 0

ด้วยวิธีนี้ หากมีวิธีเขียนสมการกำลังสองเป็นผลคูณที่น่าทึ่ง อาจมีวิธีค้นหาผลลัพธ์ของคุณโดยไม่ต้องใช้สูตรของ ภัสกร.

ในการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่าในผลิตภัณฑ์เด่นด้านบน a = 1, b = 2·k และ c = k². ด้วยวิธีนี้ เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการที่ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ในรูปแบบของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น

ดูที่สัมประสิทธิ์ในสมการ ถ้า “a” ต่างจาก 1 ให้หารสมการทั้งหมดด้วยค่าของ “a” มิฉะนั้น ให้สังเกตค่าสัมประสิทธิ์ “b” ค่าตัวเลขของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์นี้ต้องเท่ากับค่าตัวเลขของรากที่สองของสัมประสิทธิ์ "c" ทางคณิตศาสตร์ ให้สมการ ax² + bx + c = 0 ถ้า a = 1 และนอกจากนี้:

บี = ค
2

ดังนั้น คุณสามารถเขียนสมการนี้ได้ดังนี้:

ขวาน² + bx + c = (x + บี) = 0
2

และรากของมันจะเป็น - บี และ + ข.
2 2

ดังนั้นทฤษฎีทั้งหมดจึงใช้ในการคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยวิธีการเติมกำลังสอง

โดย Luiz Paulo Moreira
จบคณิต

ที่มา: โรงเรียนบราซิล - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm